Contrariamente ao previamente anunciado, no ano le(c)tivo 2018/2019, (ainda) não está previsto o funcionamento de explicações.
As actuais funcionarão até Setembro, altura em que espero que toda a gente passe...
Espero a vossa compreensão, e desejo sinceramente a todos, as maiores felicidades.
-Exceptuam-se promessas e ofertas previamente feitas
-No entanto... estou a pensar numa plataforma 100% digital de explicações.
Explicações de Matemática
por Carlos Paulo A. Freitas
terça-feira, 17 de julho de 2018
sexta-feira, 6 de julho de 2018
"Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora"
A coisa mais estranha que já vi escrita num exame nacional.
quinta-feira, 28 de junho de 2018
Distância de um ponto a um plano (I)
Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:
\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica. \[\overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.
PS: qualquer aluno que utilizasse esta fórmula (correcta) no exame nacional teria cotação zero, pois não está no programa de Matemática A
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:
\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica. \[\overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.
PS: qualquer aluno que utilizasse esta fórmula (correcta) no exame nacional teria cotação zero, pois não está no programa de Matemática A
segunda-feira, 22 de janeiro de 2018
Quartis, medianas, medias, variancias,...
Observação:
Em fase de testes, portanto, sujeito a alterações. Nesta fase, todas as sugestões são bem vindas.
Nota do autor: estou a repensar esta aplicação. Ao que parece no sistema pré-universitário português há duas definições não coincidentes de quartis. Como não me apetece fazer criar confusão entre os utilizadores, deixo a actual, utilizada nas calculadoras CASIO e TEXAS INSTRUMENTS... e numa das versões do ensino pré-universitário português.
quarta-feira, 17 de janeiro de 2018
Exercícios com séries de Mengoli
Exercício:(Nível de dificuldade: muito baixo)
Determine o valor das somas das seguintes séries
a) \[ \sum\limits_{n \ge 4}^{} {\frac{{12}}{{(3n - 1)(3n + 5)}}} \]
\[\frac{25}{77}\]
b) \[ \sum\limits_{n \ge 2}^{} {\frac{{36}}{{(4n - 3)(4n + 9)}}} \]
\[\frac{227}{195}\]
c) \[ \sum\limits_{n \ge 3}^{} {\frac{{180}}{{(9n - 4)(9n + 32)}}} \]
\[\frac{89863}{150880}\]
Determine o valor das somas das seguintes séries
a) \[ \sum\limits_{n \ge 4}^{} {\frac{{12}}{{(3n - 1)(3n + 5)}}} \]
\[\frac{25}{77}\]
b) \[ \sum\limits_{n \ge 2}^{} {\frac{{36}}{{(4n - 3)(4n + 9)}}} \]
\[\frac{227}{195}\]
c) \[ \sum\limits_{n \ge 3}^{} {\frac{{180}}{{(9n - 4)(9n + 32)}}} \]
\[\frac{89863}{150880}\]
sexta-feira, 22 de dezembro de 2017
segunda-feira, 18 de dezembro de 2017
Calendário do Mês fx-9860GII
Os interessados devem dar três cliques na animação.
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