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quinta-feira, 13 de março de 2014

O vértice da parábola - uma outra abordagem

Se considerarmos uma função quadrática real genérica f(x) = ax2 + bx + c, existem algumas formas distintas de obter as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico desta função.
Ora, o vértice da parábola é o único ponto de intersecção de uma parábola com uma certa recta horizontal de equação y = k.
Com isto em mente, vamos determinar o valor de k e as coordenadas do vértice.
Sendo o vértice o único ponto comum a essa recta e a essa parábola, as suas coordenadas são as soluções do sistema:

(
{  y = ax2 + bx + c
   y = k
(

   (
   {  k = ax2 + bx + c
⇔     - - -  - - - - -
   (

   (
   {  0 = ax2 +  bx + c - k

⇔  (  -  - - - -  - - -

Ora, para que a solução seja única temos de ter

 2
b -  4a(c - k) = 0

E portanto a coordenada x será:

          √ --
x = --b ±---0 = - -b-
       2a         2a

E, a coordenada y terá o valor de k, pois o vértice pertence à recta y = k.
Assim sendo basta-nos recorrer à equação

 2
b -  4a(c - k) = 0

e resolver.

    2
⇔  b  - 4ac + 4ak =  0

⇔ 4ak  = - (b2 - 4ac )

         b2 --4ac     Δ--
⇔  k = -    4a    = - 4a

E, então as coordenadas do vértice são:

(           )
  - -b-,- Δ--
    2a    4a

A propósito de funções quadráticas, sugiro uma visita à primeira blog-app deste blog, que calcula entre outras coisas o vértice e os zeros de uma função quadrática.
Para os que têm uma calculadora gráfica programável: sim também dá para "meter" na calculadora...
Bons estudos

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