(programa de calculadora) Séries de Mengoli

Hoje partilho mais um programa saído do meu arquivo (este é do ano 2000). Na altura eu dava aulas de Matemática ao curso de Gestão na Universidade da Madeira. Só notei que o cálculo de somas de séries do tipo \[ \sum\limits_{n = k}^\infty {\frac{c}{{\left( {qn + r} \right)\left( {qn + s} \right)}}} \] Era tão tão mecânico que era implementável numa calculadora.
Tal como no post anterior, limitei-me a deduzir a fórmula para o caso geral, converter em código e implementar

.g1m

Na animação, são testados os exemplos \[ \sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{1}{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)}}} \] e \[ \sum\limits_{n = 4}^\infty {\frac{1}{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)}}} \] Mas se desejar, pode utilizar outros exemplos dados neste blog. O programa original foi implementado numa Casio cfx-9850G. Mais tarde convertido para Fx1.0/Fx2.0, e ainda mais tarde, para as (actuais) fx-9860GII e fx-Cg10/20/50

Um programa de improviso

No site do professor Roberto Oliveira,
No terceiro teste de matemática A 11º para o ano lectivo 2018/2019, página 5 está o exercício 5

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Exercício:(Nível de dificuldade: baixo... sem querer ofender)

Considere a sucessão definida por \[b_n=\frac{2n+5}{n+1}\]

• Estude a sucessão $(b_n)$ quanto à monotonia.
• Mostre que $(b_n)$ é limitada e indique o supremo e o ínfimo.
  Nota: Supremo é o menor dos majorantes de $(b_n)$ e ínfimo é o maior dos minorantes de $(b_n)$.
• Verifique se $\displaystyle\frac{7}{3}$ é termo de $(b_n)$ e, em caso afirmativo, indique a sua ordem.

O exercício é de resolução tão simples que vou "comer alguns passos e justificações".

• \[b_{n+1}-b_n=-\frac{3}{(n+1)(n+2)}≤0\] Logo a sucessão $(b_n)$ é monótona decrescente.
• Sendo $(b_n)$ monótona decrescente, o maior termo da sucessão é o primeiro, logo $b_1 ≥ b_n \Leftrightarrow \displaystyle\frac{7}{2} ≥ b_n$
  Por outro lado, \[ b_n=2+\frac{3}{n+1}>2\]. Assim sendo \[2 < b_n \leq \frac{7}{2}\]O ínfimo é $2$ e o supremo $\displaystyle\frac{7}{2}$.
• $b_n =\displaystyle\frac{7}{3} \Leftrightarrow n=8$. Espero não ter sido muito rápido.

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Hoje, durante uma explicação tinha o referido site aberto no meu computador e pedi a uma explicanda que resolvesse este exercício.
Enquanto ela o resolvia, eu... resolvia as duas primeiras alíneas do exercício para a sucessão \[B_n=\frac{an+b}{cn+d}\] As expressões \[B_{n+1}-B_n=\frac{(a+b)d-b(c+d)}{(cn+d)(cn+c+d)}\] e \[B_n=\frac{a}{c}+\frac{b-\displaystyle\frac{ad}{c}}{cn+d}\] Mostram que no primeiro exercício o numerador é sempre um número real. E se as contas do 2º estão certas...
Portanto se o aluno me mostra uma expressão na variável $n$ há um erro de contas.
A aluna olhou meia assustada para a minha expressão, e eu disse-lhe:
-- Isto dá-me o caso geral para expressões deste tipo.
Se eu meter isto na calculadora passo a ter sempre as soluções certas e tu podes inventar sucessões e treinar até deixares de fazer erros de contas.
Por pior que seja a expressão geral, é a calculadora que vai fazer as contas e não eu.

E escrevi um programa que na altura chamei $F$.

Hoje estou sem muita imaginação.

O programa dá apenas os numeradores das fracções.

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PS: "De improviso" pode não ser o mais recomendável. Por vezes traz erros.