Equações vectoriais da recta já estão no ensino secundário há muitos, mas mesmo muitos anos. Todos os anos vejo enunciados de exercícios e problemas com gralhas de português. E já dou um exemplo:
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:
Qualquer equação da forma (x,y)=(a,b)+k(v1,v2),k∈R
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!
Exercício
Considere no referencial o.n xOy os pontos A(1,−2) e B(−2,1).
a) Indique a equação vectorial da recta AB.
b) Indique as equações paramétricas da recta AB.
E depois de eu ter escrito a negrito a na alínea a) e as na alínea b), o leitor com alguns conhecimentos de Matemática já terá percebido o problema! Nenhuma das questões tem resposta única!Considere no referencial o.n xOy os pontos A(1,−2) e B(−2,1).
a) Indique a equação vectorial da recta AB.
b) Indique as equações paramétricas da recta AB.
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:
(x,y)=(1,−2)+k(−3,3);k∈R(x,y)=(1,−2)+k(3,−3);k∈R(x,y)=(1,−2)+k(−1,1);k∈R(x,y)=(1,−2)+k(1,−1);k∈R(x,y)=(1,−2)+k(−π,π);k∈R⋮
Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos A e B!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula A+λ→AB;λ∈R
Assim sendo, são válidas também as respostas:
(x,y)=(−2,1)+k(−3,3);k∈R(x,y)=(−1,0)+k(3,−3);k∈R(x,y)=(0,−1)+k(−1,1);k∈R(x,y)=(1,−2)+k(1,−1);k∈R(x,y)=(2,−3)+k(−π,π);k∈R⋮
E a alínea b) sofre do mesmo mal, versão pior: É impossível listar todas...
Isto porque na verdade, qualquer vector de declive −1 pode ser usado!
Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos A e B!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula A+λ→AB;λ∈R
também pode ser utilizado!
Assim sendo, são válidas também as respostas:
(x,y)=(−2,1)+k(−3,3);k∈R(x,y)=(−1,0)+k(3,−3);k∈R(x,y)=(0,−1)+k(−1,1);k∈R(x,y)=(1,−2)+k(1,−1);k∈R(x,y)=(2,−3)+k(−π,π);k∈R⋮
Qualquer equação da forma (x,y)=(a,b)+k(v1,v2),k∈R
consegue ser reescrita na forma de equações paramétricas:
{x=a+kv1y=b+kv2;k∈R
E só por isso já temos uma infinidade de equações paramétricas.
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!
{x=a+(tanθ×v1)y=b+(tanθ×v2);θ∈]−π2,π2[
Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...
E quem diz estas, diz muitas mais...
E aqui ainda temos a liberdade de deslocar o intervalo por um múltiplo inteiro de π!
Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!
PS: o autor está-se nas tintas para o acordo ortográfico de 1990! Prendam-no por não o utilizar!
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