eθ i=cos θ + i sen θ O novo cis

Uma das novidade do 'novo' programa de Matemática A,a ser introduzido no ano lectivo 2017/2018, é que em vez de escrever

cis θ = cos θ + i sen θ
define-se e^{θ i} = cos θ + i sen θ
No secundário, eu não sou o maior fã desta 'nova' definição, porque (a menos que me tenha escapado algo) no secundário, não é justificado porque é que se usa justamente o e como base desta exponencial.
Portanto, se eu não quiser que os meus explicandos simplesmente levem com a fórmula por 'imposição' (porque afinal de contas, estamos a redefinir/generalizar a exponencial de base e, e há sempre alguém curioso... ) uma hipótese é tentar arranjar uma "dedução" que sugira aos alunos porque se define assim e não de outra forma.
Tentando evitar séries de Maclaurin (só porque quero tentar introduzir o mínimo possível de 'matéria nova' fora do programa aos alunos), pensei em duas (agora três...) deduções possíveis da fórmula, ambas da minha autoria.
Uma já partilhei na net no passado, no blog CarlosPaulices no século XXI, e outra, que recorre ao conceito de "osciladores harmónicos" também introduzido no novo programa de Matemática A, foi partilhada hoje no meu blog Zona Exacta.
Esta segunda tem alguns problemas ... tem muitos malabarismos para que eu possa apresentar a um aluno médio do ensino secundário, e na verdade não se prova que as fórmulas da 'dedução' são as soluções gerais daquelas equações, isto é, que dão todas as soluções possíveis!...
Nesta fase, parece-me apenas ser possível e aceitável, verificar que são soluções.
Com sorte, pode ser que ainda consiga trabalhar esta 'dedução' por forma a se apresentar menos agressiva ao aluno médio deste novo ensino secundário.
Enquanto escrevia este texto, ocorreu-me uma forma mais simples de fazer a 'dedução': pode ver no mesmo blog Zona Exacta, a nova dedução.
Sem, para já, tocar em séries, aceito qualquer sugestão com que o leitor possa contribuir... sem urgências.
Para já, se algum aluno perguntar... apresento a terceira! Se entretanto aparecer outra(s), deixo um link abaixo, na zona "PS".

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PS:

• Já mais do que uma vez deduzi a fórmula dos polinómios e séries de Maclaurin, depois obtive as fórmulas para a exponencial de base e, para o cosseno e para o seno, e deduzi a fómula da exponencial complexa, a alunos noutros contextos. Desta vez procuro mesmo algo diferente.
• CarlosPaulices no século XXI:De uma equação diferencial até à relação de Euler.
• Zona Exacta:Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão I).
• Zona Exacta:Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão II)
  Esta é a tal terceira opção que me ocorreu enquanto escrevia este texto.
• 04/09/2017 : uma 4ª dedução