Exercício:(Nível de dificuldade: baixo, mas trabalhoso...)
Determine uma expressão para
∫2x2+1x(x2+2x+7)2dx
149ln|x|−198ln(x2+2x+7)−13√6392arctan((x+1)√66)−5x+3128(x2+2x+7)+c;c∈R
Determine uma expressão para
∫2x2+1x(x2+2x+7)2dx
149ln|x|−198ln(x2+2x+7)−13√6392arctan((x+1)√66)−5x+3128(x2+2x+7)+c;c∈R
x2+2x+7 não tem zeros reais pois x2+2x+7=(x+1)2+6.
Assim, a fracção decompõe-se da seguinte forma: 2x2+1x(x2+2x+7)2=Ax+Bx+Cx2+2x+7+Dx+E(x2+2x+7)2 ⇔2x2+1x((x+1)2+6)2=A((x+1)2+6)2+(Bx+C)x(x2+2x+7)+x(Dx+E)x((x+1)2+6)2 ⇔2x2+1=(A+B)x4+(4A+2B+C)x3+(18A+7B+2C+D)x2+(28A+7C+E)x+49A ⇔{0=A+B0=4A+2B+C2=18A+7B+2C+D0=28A+7C+E1=49A ⇔{−149=B−249=C137=D−27=E149=A Portanto 2x2+1x((x+1)2+6)2=149x+−149x−249(x+1)2+6+137x−27((x+1)2+6)2 Atendendo a que: ∫149xdx=149∫1xdx=149ln|x|+C1 ∫137x−27(x2+2x+7)2dx=17(∫13x+13−15(x2+2x+7)2dx)=−149(12∫2x+2x2+2x+7dx+∫1(x+1)2+6dx)=−149(12∫2x+2x2+2x+7dx+√66∫1√6(x+1√6)2+1dx)=−198ln(x2+7x+1)−√6294arctgx+1√6+C2 E ∫137x−27(x2+2x+7)2dx=17(∫13x+13−15(x2+2x+7)2dx)=12×137∫2x+2(x2+2x+7)2dx−157∫1(x2+2x+7)2dx=1314∫(2x+2)(x2+2x+7)−2dx−157∫1(x2+2x+7)2dx=−13141(x2+2x+7)−157∫1(x2+2x+7)2dx e ainda ∫1(x2+2x+7)2dx=∫1((x+1)2+6)2dx Fazendo a susbstituição t=arctg(x+1√6) temos =∫√6sec2t(6sec2t)2dt=√662∫cos2tdt=√662∫1+cos(2t)2dt=√662(t2+sen(2t)4)+C3=√662(t2+2sen(t)cos(t)4)+C3=√662(t2+2tg(t)cos2(t)4)+C3=√662(t2+tg(t)2(1+tg2t))+C3=√662(arctg(x+1√6)2+x+1√62(1+(x+1√6)2))+C3=√672arctg(x+1√6)+x+112(x2+2x+7)+C3 Combinando estes resultados todos obtém-se a resposta apresentada.
As constantes C1,C2 e C3 são números reais
Assim, a fracção decompõe-se da seguinte forma: 2x2+1x(x2+2x+7)2=Ax+Bx+Cx2+2x+7+Dx+E(x2+2x+7)2 ⇔2x2+1x((x+1)2+6)2=A((x+1)2+6)2+(Bx+C)x(x2+2x+7)+x(Dx+E)x((x+1)2+6)2 ⇔2x2+1=(A+B)x4+(4A+2B+C)x3+(18A+7B+2C+D)x2+(28A+7C+E)x+49A ⇔{0=A+B0=4A+2B+C2=18A+7B+2C+D0=28A+7C+E1=49A ⇔{−149=B−249=C137=D−27=E149=A Portanto 2x2+1x((x+1)2+6)2=149x+−149x−249(x+1)2+6+137x−27((x+1)2+6)2 Atendendo a que: ∫149xdx=149∫1xdx=149ln|x|+C1 ∫137x−27(x2+2x+7)2dx=17(∫13x+13−15(x2+2x+7)2dx)=−149(12∫2x+2x2+2x+7dx+∫1(x+1)2+6dx)=−149(12∫2x+2x2+2x+7dx+√66∫1√6(x+1√6)2+1dx)=−198ln(x2+7x+1)−√6294arctgx+1√6+C2 E ∫137x−27(x2+2x+7)2dx=17(∫13x+13−15(x2+2x+7)2dx)=12×137∫2x+2(x2+2x+7)2dx−157∫1(x2+2x+7)2dx=1314∫(2x+2)(x2+2x+7)−2dx−157∫1(x2+2x+7)2dx=−13141(x2+2x+7)−157∫1(x2+2x+7)2dx e ainda ∫1(x2+2x+7)2dx=∫1((x+1)2+6)2dx Fazendo a susbstituição t=arctg(x+1√6) temos =∫√6sec2t(6sec2t)2dt=√662∫cos2tdt=√662∫1+cos(2t)2dt=√662(t2+sen(2t)4)+C3=√662(t2+2sen(t)cos(t)4)+C3=√662(t2+2tg(t)cos2(t)4)+C3=√662(t2+tg(t)2(1+tg2t))+C3=√662(arctg(x+1√6)2+x+1√62(1+(x+1√6)2))+C3=√672arctg(x+1√6)+x+112(x2+2x+7)+C3 Combinando estes resultados todos obtém-se a resposta apresentada.
As constantes C1,C2 e C3 são números reais
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