Do plano mediador ao outro vértice do segmento... sem produto escalar.

(Proposto pelo professor Roberto Oliveira,facebook)

Problema
Resolver com conhecimentos adquiridos até ao actual 10º ano (portanto, nada de produto escalar, perpendicularidade...)

Num referencial Oxyz, $2x+y+5z=10$ é a equação do plano mediador de $[OP]$. Descobrir $P(a,b,c)$

$$P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)$$

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(Proposta pelo professor Elias Rodrigues)
Considerem-se no plano mediador, por exemplo, os pontos $A=(5,0,0);B=(0,10,0);C=(0,0,2)$.
Atendendo à definição de plano mediador temos: $$d(P,A)=d(P,O)$$ $$d(P,B)=d(P,O)$$ $$d(P,C)=d(P,O)$$ Das duas primeiras equações tira-se $a=2b$ e das duas últimas $c=5b$.
Portanto $$P= (2b,b,5b)$$ Como o ponto $\left(b,\displaystyle\frac{b}{2},\displaystyle\frac{5b}{2}\right)$ pertence ao plano mediador, substitui-se na equação do plano e encontra-se o valor $$b=\frac{2}{3}$$ Que nos conduz à solução apresentada.

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(Proposta por Carlos Paulo A. Freitas)
Se uma equação do plano mediador é $$2x+y+5z-10=0$$ então para todo o $k$ real não nulo $${2kx + ky + 5kz - 10k = 0}$$ também é equação do plano mediador.
Adicionando $x^2+y^2+z^2$ a ambos os membros da equação temos $$x^2 + y^2 + z^2 +2kx + ky + 5kz - 10k = x^2 + y^2 + z^2$$ que se consegue reescrever como $$\left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - k^2 - \frac{{k^2 }}{4} - \frac{{25k^2 }}{4}=x^2 + y^2 + z^2$$ e simplificar para $$\left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - \frac{{15k^2 }}{2}=x^2 + y^2 + z^2$$ Para isto ser a equação de um plano mediador temos de ter $$- 10k - \frac{{15k^2 }}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 5k\left( {2 + \frac{{3k}}{2}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow k = 0 \vee k = - \frac{4}{3}$$ Mas a solução $k=0$ tem de ser descartada. ($k=0$ dá-nos todo o espaço tridimensional e não o plano mediador)
Assim sendo temos $$k=-\frac{4}{3}$$ .
E então a equação reescreve-se: $$\left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2 + \left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2 + \left( {z - \frac{{10}}{3}} \right)^2 {\rm = }x^{\rm 2} + y^2 + z^2$$ Que nos indica que $$P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)$$

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(Como é obscena só podia ser por Carlos Paulo A. Freitas)
Considere-se a superfície esférica de centro $O$ e tangente ao plano. $$x^2+y^2+z^2=r^2$$ O ponto de tangência $T$ é a única solução do sistema $$\left\{ {\begin{array}{c} {x^2 + y^2 + z^2 = r^2 } \\ {2x + y + 5z = 10} \end{array}} \right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x^2 + 4x^2 + 20xz - 40x + 25z^2 - 100z + 100 + z^2 = r^2 } \\ {y = 10 - 2x - 5z} \end{array}} \right.$$ A equação de cima do sistema é equivalente a $${5\left( {x^2 + 4x\left( {z - 2} \right)} \right) + 26z^2 - 100z = r^2 - 100}$$ $$\Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 26z^2 - 100z - 20z^2 + 80z - 80 = r^2 - 100$$ $$\Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6z^2 - 20z = r^2 - 20$$ $$\Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z^2 - \frac{{10}}{3}z + \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 } \right) = r^2 - 20 + 6 \times \left( {\frac{5}{3}} \right)^2$$ $$\Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z - \frac{5}{3}} \right)^2 = r^2 - \frac{{10}}{3}$$ Como membro esquerdo da equação temos uma soma de quantidades não negativas, então, o segundo membro também é não negativo, ou seja, $$r^2 - \frac{{10}}{3}\geq0$$ Como $r$ é o raio de uma superfície esférica, $r> 0$, logo. $r\geq\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$. Por outro lado, sabe-se que esta equação só deve ter uma solução em $x$ e $z$ (só há um ponto comum à superfície e ao plano:o ponto de tangência), logo, temos de ter que a soma do membro esquerdo é zero, e $r=\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$.
Então $$z=\frac{5}{3}$$ E $$x=-2(z-2)=\frac{2}{3}$$ Logo $$y=\frac{1}{3}$$ Portanto $$P=O+2\vect{OT}=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)$$

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Obs: Nenhuma das resoluções até agora apresentadas, é exigível a um aluno de 10º