Exercício:(Nível de dificuldade: baixo, mas trabalhoso...)
Determine uma expressão para
$$\int {\frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2}}dx}$$

---

$$\frac{1}{{49}}\ln \left| x \right| - \frac{1}{{98}}\ln \left( x^2 + 2x + 7 \right) - \frac{{13\sqrt 6 }}{{392}}\arctan \left( {\left( {x + 1} \right)\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) - \frac{{5x + 31}}{{28\left( x^2 + 2x + 7 \right)}} + c; c\in\R$$

---

$x^2 + 2x + 7$ não tem zeros reais pois $x^2 + 2x + 7=(x+1)^2+6$.
Assim, a fracção decompõe-se da seguinte forma: $$\frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{x^2 + 2x + 7}} + \frac{{Dx + E}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}$$ $$\Leftrightarrow \frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }} = \frac{{A\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 + \left( {Bx + C} \right)x\left( {x^2 + 2x + 7} \right) + x\left( {Dx + E} \right)}}{{x\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }}$$ $$\Leftrightarrow 2x^2 + 1 = \left( {A + B} \right)x^4 + \left( {4A + 2B + C} \right)x^3 + \left( {18A + 7B + 2C + D} \right)x^2 + \left( {28A + 7C + E} \right)x + 49A$$ $$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccl} 0 & = & {A + B} \\ 0 & = & {4A + 2B + C} \\ 2 & = & {18A + 7B + 2C + D} \\ 0 & = & {28A + 7C + E} \\ 1 & = & {49A} \end{array}} \right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccl} { - \displaystyle\frac{1}{{49}}} & = & B \\ { - \displaystyle\frac{2}{{49}}} & = & C \\ {\displaystyle\frac{{13}}{{7}}} & = & D \\ { - \displaystyle\frac{2}{{7}}} & = & E \\ {\displaystyle\frac{1}{{49}}} & = & A \end{array}} \right.$$ Portanto $$\frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }} = \frac{{\frac{1}{{49}}}}{x} + \frac{{ - \frac{1}{{49}}x - \frac{2}{{49}}}}{{\left( {x + 1} \right)^2 + 6}} + \frac{{\frac{{13}}{{7}}x - \frac{2}{{7}}}}{{\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }}$$ Atendendo a que: $$\begin{eqnarray*} {\int {\frac{{\frac{1}{{49}}}}{x}dx}}&{=}&{\frac{1}{{49}}\int {\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{{49}}\ln \left| x \right| + C_1}\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} {\int {\frac{\frac{13}{7}x - \frac{2}{7}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx}}&{=}&{\frac{1}{7}\left( {\int {\frac{{13x + 13 - 15}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{- \frac{1}{{49}}\left( {\frac{1}{2}\int {\frac{{2x + 2}}{{x^2 + 2x + 7}}dx} + \int {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)^2 + 6}}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{- \frac{1}{{49}}\left( {\frac{1}{2}\int {\frac{{2x + 2}}{{x^2 + 2x + 7}}dx} + \frac{\sqrt 6}{6} \int {\frac{{\frac{1}{{\sqrt 6 }}}}{{\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2 + 1}}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{-\frac{1}{98}\ln {\left(x^2+7x+1\right)}-\frac{\sqrt 6}{294}\arctg{\frac{x+1}{\sqrt 6}}+C_2} \end{eqnarray*}$$ E $$\begin{eqnarray*} {\int {\frac{{\frac{{13}}{7}x - \frac{2}{7}}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx}}&{ = }&{\frac{1}{7}\left( {\int {\frac{{13x + 13 - 15}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{\frac{1}{2} \times \frac{{13}}{7}\int {\frac{{2x + 2}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx - \frac{{15}}{7}\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } }\\ {}&{=}&{ \frac{{13}}{{14}}\int {\left( {2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^{ - 2} dx - \frac{{15}}{7}\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } }\\ {}&{=}&{ - \frac{{13}}{{14}}\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)}} - \frac{{15}}{7}\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } \end{eqnarray*}$$ e ainda $$\begin{eqnarray*} {\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx}}&{ = }&{\int{\frac{1}{((x+1)^2+6)^2}}dx}\\ \end{eqnarray*}$$ Fazendo a susbstituição $$t=\arctg \left(\frac{x+1}{\sqrt{6}}\right)$$ temos $$\begin{eqnarray*} {}&{ = }&{\int{\frac{\sqrt{6}\sec^2 t}{\left(6\sec^2t\right)^2}}dt}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\int{\cos^2 t}dt}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\int{\frac{1+\cos(2t)}{2}}dt}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{\sen(2t)}{4}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{2\sen(t)\cos(t)}{4}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{2\tg(t)\cos^2(t)}{4}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{\tg(t)}{2\left(1+\tg^2 t\right)}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{\arctg \left(\frac{x+1}{\sqrt{6}}\right)}{2}+\frac{\frac{x+1}{\sqrt{6}}}{2\left(1+\left(\frac{x+1}{\sqrt{6}}\right)^2\right)}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{72}\arctg \left( \frac{x+1}{\sqrt{6}} \right)+\frac{x+1}{12\left(x^2+2x+7\right)}+C_3 } \end{eqnarray*}$$ Combinando estes resultados todos obtém-se a resposta apresentada.
As constantes $C_1,C_2$ e $C_3$ são números reais

---

Instalando ficheiros .g3m em calculadoras CASIO fx-CG 10/fx-CG 20 e fx-CG 50

• Passo 1: Com o computador ligado, ligar a calculadora ao computador com um cabo USB 2.0 A para Mini USB B (vem com a calculadora e até se encontram em "lojas do chinês")
  
  
  
• Passo 2: na calculadora pressionar F1
  
  
• Passo 3:Aguardar pacientemente
  
  
  
  
  
• Passo 4:ler instruções no ecrã da calculadora. A Casio esqueceu-se de escrever o que se deve fazer com os ficheiros de programas .g3m, .g2m e .g1m .
  Faz-se o mesmo que se estivéssemos a importar um programa texto.
  
  
  
  
  
• Passo 5:Abrir a calculadora no computador. Deve ser reconhecida como se fosse uma pen (a minha tem o ícone de uma calculadora porque juntei uns ficheiros especiais... um dia partilho)
  
  
  
• Passo 6:Ir até à pasta @MainMem\Program
  
  
  
  
• Passo 7:Copiar o ficheiro lá para dentro
  
  
  
  
  
• Passo 8:Remover a calculadora, como se remove uma pen!
  Atenção, seguir as instruções específicas do seu sistema operativo [Windows/Linux/Unix/MacOS/FreeBSD/Android(sim, dá para instalar na calculadora, via telemóvel/tablet coisas com um cabo OTG)], etc...
  
  E o programa, está pronto a utilizar
  

A todos os explicandos e ex-explicandos.

Agradeço que preencham e me enviem ... isto.

---

Insisto. A vossa participação é importante, e o funcionamento futuro depende muito do vosso contributo.

---

Contrariamente ao previamente anunciado, no ano le(c)tivo 2018/2019, (ainda) não está previsto o funcionamento de explicações.
As actuais funcionarão até Setembro, altura em que espero que toda a gente passe...

Espero a vossa compreensão, e desejo sinceramente a todos, as maiores felicidades.

---

-Exceptuam-se promessas e ofertas previamente feitas
-No entanto... estou a pensar numa plataforma 100% digital de explicações.

"Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora"

A coisa mais estranha que já vi escrita num exame nacional.

Distância de um ponto a um plano (I)

Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:

$$(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R$$ .
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
$$\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*}$$ Portanto $$(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)$$ ou, equivalentemente $$\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)$$ Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica. $$\overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: $$\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.

---

PS: qualquer aluno que utilizasse esta fórmula (correcta) no exame nacional teria cotação zero, pois não está no programa de Matemática A

Quartis, medianas, medias, variancias,...

Gerar números entre e
Total de números:

---

Observação:
Em fase de testes, portanto, sujeito a alterações. Nesta fase, todas as sugestões são bem vindas.

---

Nota do autor: estou a repensar esta aplicação. Ao que parece no sistema pré-universitário português há duas definições não coincidentes de quartis. Como não me apetece fazer criar confusão entre os utilizadores, deixo a actual, utilizada nas calculadoras CASIO e TEXAS INSTRUMENTS... e numa das versões do ensino pré-universitário português.

Exercícios com séries de Mengoli

Exercício:(Nível de dificuldade: muito baixo)
Determine o valor das somas das seguintes séries
a) $$\sum\limits_{n \ge 4}^{} {\frac{{12}}{{(3n - 1)(3n + 5)}}}$$

---

$$\frac{25}{77}$$

---

b) $$\sum\limits_{n \ge 2}^{} {\frac{{36}}{{(4n - 3)(4n + 9)}}}$$

---

$$\frac{227}{195}$$

---

c) $$\sum\limits_{n \ge 3}^{} {\frac{{180}}{{(9n - 4)(9n + 32)}}}$$

---

$$\frac{89863}{150880}$$

---