Deve ser normal

Se X segue uma normal(0,1), qual é a probabilidade de X estar na vizinhança de zero, raio 0.8/62.6?

Como resolver numa calculadora CASIO?

Resolução 1

Resolução 2

Resolução 3

O voo picado

Função Quadrática:programa de calculadora (animação)

A animação mostra um programa ainda em fase de testes.

(programa de calculadora) Séries de Mengoli

Hoje partilho mais um programa saído do meu arquivo (este é do ano 2000). Na altura eu dava aulas de Matemática ao curso de Gestão na Universidade da Madeira. Só notei que o cálculo de somas de séries do tipo \[ \sum\limits_{n = k}^\infty {\frac{c}{{\left( {qn + r} \right)\left( {qn + s} \right)}}} \] Era tão tão mecânico que era implementável numa calculadora.
Tal como no post anterior, limitei-me a deduzir a fórmula para o caso geral, converter em código e implementar

.g1m

Na animação, são testados os exemplos \[ \sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{1}{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)}}} \] e \[ \sum\limits_{n = 4}^\infty {\frac{1}{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)}}} \] Mas se desejar, pode utilizar outros exemplos dados neste blog. O programa original foi implementado numa Casio cfx-9850G. Mais tarde convertido para Fx1.0/Fx2.0, e ainda mais tarde, para as (actuais) fx-9860GII e fx-Cg10/20/50

Um programa de improviso

No site do professor Roberto Oliveira,
No terceiro teste de matemática A 11º para o ano lectivo 2018/2019, página 5 está o exercício 5

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Exercício:(Nível de dificuldade: baixo... sem querer ofender)

Considere a sucessão definida por \[b_n=\frac{2n+5}{n+1}\]

• Estude a sucessão $(b_n)$ quanto à monotonia.
• Mostre que $(b_n)$ é limitada e indique o supremo e o ínfimo.
  Nota: Supremo é o menor dos majorantes de $(b_n)$ e ínfimo é o maior dos minorantes de $(b_n)$.
• Verifique se $\displaystyle\frac{7}{3}$ é termo de $(b_n)$ e, em caso afirmativo, indique a sua ordem.

O exercício é de resolução tão simples que vou "comer alguns passos e justificações".

• \[b_{n+1}-b_n=-\frac{3}{(n+1)(n+2)}≤0\] Logo a sucessão $(b_n)$ é monótona decrescente.
• Sendo $(b_n)$ monótona decrescente, o maior termo da sucessão é o primeiro, logo $b_1 ≥ b_n \Leftrightarrow \displaystyle\frac{7}{2} ≥ b_n$
  Por outro lado, \[ b_n=2+\frac{3}{n+1}>2\]. Assim sendo \[2 < b_n \leq \frac{7}{2}\]O ínfimo é $2$ e o supremo $\displaystyle\frac{7}{2}$.
• $b_n =\displaystyle\frac{7}{3} \Leftrightarrow n=8$. Espero não ter sido muito rápido.

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Hoje, durante uma explicação tinha o referido site aberto no meu computador e pedi a uma explicanda que resolvesse este exercício.
Enquanto ela o resolvia, eu... resolvia as duas primeiras alíneas do exercício para a sucessão \[B_n=\frac{an+b}{cn+d}\] As expressões \[B_{n+1}-B_n=\frac{(a+b)d-b(c+d)}{(cn+d)(cn+c+d)}\] e \[B_n=\frac{a}{c}+\frac{b-\displaystyle\frac{ad}{c}}{cn+d}\] Mostram que no primeiro exercício o numerador é sempre um número real. E se as contas do 2º estão certas...
Portanto se o aluno me mostra uma expressão na variável $n$ há um erro de contas.
A aluna olhou meia assustada para a minha expressão, e eu disse-lhe:
-- Isto dá-me o caso geral para expressões deste tipo.
Se eu meter isto na calculadora passo a ter sempre as soluções certas e tu podes inventar sucessões e treinar até deixares de fazer erros de contas.
Por pior que seja a expressão geral, é a calculadora que vai fazer as contas e não eu.

E escrevi um programa que na altura chamei $F$.

Hoje estou sem muita imaginação.

O programa dá apenas os numeradores das fracções.

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PS: "De improviso" pode não ser o mais recomendável. Por vezes traz erros.

Um integral das redes sociais

Exercício:(Nível de dificuldade: médio, e trabalhoso...)
Este anda a circular pela Internet.
Foi-me enviado pela Margarida Gouveia.

Portanto, o exercício é. Determine o valor exacto de \[ \int\limits_0^1 {\frac{{3x^3 - x^2 + 2x - 4}}{{\sqrt {x^2 - 3x + 2} }}dx} \]

( Á data da publicação deste post, o Wolfram Alpha resolve correctamente o integral, mas o symbolab não )
Assim que me for possível deixo uma resolução minha

Exercício:(Nível de dificuldade: baixo, mas trabalhoso...)
Determine uma expressão para
\[ \int {\frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2}}dx} \]

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\[ \frac{1}{{49}}\ln \left| x \right| - \frac{1}{{98}}\ln \left( x^2 + 2x + 7 \right) - \frac{{13\sqrt 6 }}{{392}}\arctan \left( {\left( {x + 1} \right)\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) - \frac{{5x + 31}}{{28\left( x^2 + 2x + 7 \right)}} + c; c\in\R \]

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$x^2 + 2x + 7$ não tem zeros reais pois $x^2 + 2x + 7=(x+1)^2+6$.
Assim, a fracção decompõe-se da seguinte forma: \[ \frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{x^2 + 2x + 7}} + \frac{{Dx + E}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }} \] \[ \Leftrightarrow \frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }} = \frac{{A\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 + \left( {Bx + C} \right)x\left( {x^2 + 2x + 7} \right) + x\left( {Dx + E} \right)}}{{x\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }} \] \[ \Leftrightarrow 2x^2 + 1 = \left( {A + B} \right)x^4 + \left( {4A + 2B + C} \right)x^3 + \left( {18A + 7B + 2C + D} \right)x^2 + \left( {28A + 7C + E} \right)x + 49A \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccl} 0 & = & {A + B} \\ 0 & = & {4A + 2B + C} \\ 2 & = & {18A + 7B + 2C + D} \\ 0 & = & {28A + 7C + E} \\ 1 & = & {49A} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccl} { - \displaystyle\frac{1}{{49}}} & = & B \\ { - \displaystyle\frac{2}{{49}}} & = & C \\ {\displaystyle\frac{{13}}{{7}}} & = & D \\ { - \displaystyle\frac{2}{{7}}} & = & E \\ {\displaystyle\frac{1}{{49}}} & = & A \end{array}} \right. \] Portanto \[ \frac{{2x^2 + 1}}{{x\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }} = \frac{{\frac{1}{{49}}}}{x} + \frac{{ - \frac{1}{{49}}x - \frac{2}{{49}}}}{{\left( {x + 1} \right)^2 + 6}} + \frac{{\frac{{13}}{{7}}x - \frac{2}{{7}}}}{{\left( {\left( {x + 1} \right)^2 + 6} \right)^2 }} \] Atendendo a que: \begin{eqnarray*} {\int {\frac{{\frac{1}{{49}}}}{x}dx}}&{=}&{\frac{1}{{49}}\int {\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{{49}}\ln \left| x \right| + C_1}\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} {\int {\frac{\frac{13}{7}x - \frac{2}{7}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx}}&{=}&{\frac{1}{7}\left( {\int {\frac{{13x + 13 - 15}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{- \frac{1}{{49}}\left( {\frac{1}{2}\int {\frac{{2x + 2}}{{x^2 + 2x + 7}}dx} + \int {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)^2 + 6}}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{- \frac{1}{{49}}\left( {\frac{1}{2}\int {\frac{{2x + 2}}{{x^2 + 2x + 7}}dx} + \frac{\sqrt 6}{6} \int {\frac{{\frac{1}{{\sqrt 6 }}}}{{\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2 + 1}}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{-\frac{1}{98}\ln {\left(x^2+7x+1\right)}-\frac{\sqrt 6}{294}\arctg{\frac{x+1}{\sqrt 6}}+C_2} \end{eqnarray*} E \begin{eqnarray*} {\int {\frac{{\frac{{13}}{7}x - \frac{2}{7}}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx}}&{ = }&{\frac{1}{7}\left( {\int {\frac{{13x + 13 - 15}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } \right)}\\ {}&{=}&{\frac{1}{2} \times \frac{{13}}{7}\int {\frac{{2x + 2}}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx - \frac{{15}}{7}\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } }\\ {}&{=}&{ \frac{{13}}{{14}}\int {\left( {2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^{ - 2} dx - \frac{{15}}{7}\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } }\\ {}&{=}&{ - \frac{{13}}{{14}}\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)}} - \frac{{15}}{7}\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx} } \end{eqnarray*} e ainda \begin{eqnarray*} {\int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 7} \right)^2 }}dx}}&{ = }&{\int{\frac{1}{((x+1)^2+6)^2}}dx}\\ \end{eqnarray*} Fazendo a susbstituição \[t=\arctg \left(\frac{x+1}{\sqrt{6}}\right)\] temos \begin{eqnarray*} {}&{ = }&{\int{\frac{\sqrt{6}\sec^2 t}{\left(6\sec^2t\right)^2}}dt}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\int{\cos^2 t}dt}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\int{\frac{1+\cos(2t)}{2}}dt}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{\sen(2t)}{4}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{2\sen(t)\cos(t)}{4}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{2\tg(t)\cos^2(t)}{4}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{t}{2}+\frac{\tg(t)}{2\left(1+\tg^2 t\right)}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{6^2}\left(\frac{\arctg \left(\frac{x+1}{\sqrt{6}}\right)}{2}+\frac{\frac{x+1}{\sqrt{6}}}{2\left(1+\left(\frac{x+1}{\sqrt{6}}\right)^2\right)}\right)+C_3}\\ {}&{=}&{\frac{\sqrt{6}}{72}\arctg \left( \frac{x+1}{\sqrt{6}} \right)+\frac{x+1}{12\left(x^2+2x+7\right)}+C_3 } \end{eqnarray*} Combinando estes resultados todos obtém-se a resposta apresentada.
As constantes $C_1,C_2$ e $C_3$ são números reais

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