Explicações de Matemática
por Carlos Paulo A. Freitas
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quarta-feira, 27 de março de 2019
Função Quadrática:programa de calculadora (animação)
terça-feira, 17 de outubro de 2017
Do plano mediador ao outro vértice do segmento... sem produto escalar.
(Proposto pelo professor Roberto Oliveira,facebook)
Problema
Resolver com conhecimentos adquiridos até ao actual 10º ano (portanto, nada de produto escalar, perpendicularidade...)
Resolver com conhecimentos adquiridos até ao actual 10º ano (portanto, nada de produto escalar, perpendicularidade...)
Num referencial Oxyz, $2x+y+5z=10$ é a equação do plano mediador de $[OP]$. Descobrir $P(a,b,c)$
\[P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Obs: Nenhuma das resoluções até agora apresentadas, é exigível a um aluno de 10º
(Proposta pelo professor Elias Rodrigues)
Considerem-se no plano mediador, por exemplo, os pontos $A=(5,0,0);B=(0,10,0);C=(0,0,2)$.
Atendendo à definição de plano mediador temos: \[d(P,A)=d(P,O)\]\[d(P,B)=d(P,O)\]\[d(P,C)=d(P,O)\] Das duas primeiras equações tira-se $a=2b$ e das duas últimas $c=5b$.
Portanto \[P= (2b,b,5b)\] Como o ponto $\left(b,\displaystyle\frac{b}{2},\displaystyle\frac{5b}{2}\right)$ pertence ao plano mediador, substitui-se na equação do plano e encontra-se o valor \[b=\frac{2}{3}\] Que nos conduz à solução apresentada.
Considerem-se no plano mediador, por exemplo, os pontos $A=(5,0,0);B=(0,10,0);C=(0,0,2)$.
Atendendo à definição de plano mediador temos: \[d(P,A)=d(P,O)\]\[d(P,B)=d(P,O)\]\[d(P,C)=d(P,O)\] Das duas primeiras equações tira-se $a=2b$ e das duas últimas $c=5b$.
Portanto \[P= (2b,b,5b)\] Como o ponto $\left(b,\displaystyle\frac{b}{2},\displaystyle\frac{5b}{2}\right)$ pertence ao plano mediador, substitui-se na equação do plano e encontra-se o valor \[b=\frac{2}{3}\] Que nos conduz à solução apresentada.
(Proposta por Carlos Paulo A. Freitas)
Se uma equação do plano mediador é \[2x+y+5z-10=0\] então para todo o $k$ real não nulo \[ {2kx + ky + 5kz - 10k = 0} \] também é equação do plano mediador.
Adicionando $x^2+y^2+z^2$ a ambos os membros da equação temos \[ x^2 + y^2 + z^2 +2kx + ky + 5kz - 10k = x^2 + y^2 + z^2 \] que se consegue reescrever como \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - k^2 - \frac{{k^2 }}{4} - \frac{{25k^2 }}{4}=x^2 + y^2 + z^2 \] e simplificar para \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - \frac{{15k^2 }}{2}=x^2 + y^2 + z^2 \] Para isto ser a equação de um plano mediador temos de ter \[ - 10k - \frac{{15k^2 }}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 5k\left( {2 + \frac{{3k}}{2}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow k = 0 \vee k = - \frac{4}{3} \] Mas a solução $k=0$ tem de ser descartada. ($k=0$ dá-nos todo o espaço tridimensional e não o plano mediador)
Assim sendo temos \[k=-\frac{4}{3}\].
E então a equação reescreve-se: \[ \left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2 + \left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2 + \left( {z - \frac{{10}}{3}} \right)^2 {\rm = }x^{\rm 2} + y^2 + z^2 \] Que nos indica que \[P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Se uma equação do plano mediador é \[2x+y+5z-10=0\] então para todo o $k$ real não nulo \[ {2kx + ky + 5kz - 10k = 0} \] também é equação do plano mediador.
Adicionando $x^2+y^2+z^2$ a ambos os membros da equação temos \[ x^2 + y^2 + z^2 +2kx + ky + 5kz - 10k = x^2 + y^2 + z^2 \] que se consegue reescrever como \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - k^2 - \frac{{k^2 }}{4} - \frac{{25k^2 }}{4}=x^2 + y^2 + z^2 \] e simplificar para \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - \frac{{15k^2 }}{2}=x^2 + y^2 + z^2 \] Para isto ser a equação de um plano mediador temos de ter \[ - 10k - \frac{{15k^2 }}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 5k\left( {2 + \frac{{3k}}{2}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow k = 0 \vee k = - \frac{4}{3} \] Mas a solução $k=0$ tem de ser descartada. ($k=0$ dá-nos todo o espaço tridimensional e não o plano mediador)
Assim sendo temos \[k=-\frac{4}{3}\].
E então a equação reescreve-se: \[ \left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2 + \left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2 + \left( {z - \frac{{10}}{3}} \right)^2 {\rm = }x^{\rm 2} + y^2 + z^2 \] Que nos indica que \[P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
(Como é obscena só podia ser por Carlos Paulo A. Freitas)
Considere-se a superfície esférica de centro $O$ e tangente ao plano. \[x^2+y^2+z^2=r^2\] O ponto de tangência $T$ é a única solução do sistema \[ \left\{ {\begin{array}{c} {x^2 + y^2 + z^2 = r^2 } \\ {2x + y + 5z = 10} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x^2 + 4x^2 + 20xz - 40x + 25z^2 - 100z + 100 + z^2 = r^2 } \\ {y = 10 - 2x - 5z} \end{array}} \right. \] A equação de cima do sistema é equivalente a \[ {5\left( {x^2 + 4x\left( {z - 2} \right)} \right) + 26z^2 - 100z = r^2 - 100} \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 26z^2 - 100z - 20z^2 + 80z - 80 = r^2 - 100 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6z^2 - 20z = r^2 - 20 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z^2 - \frac{{10}}{3}z + \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 } \right) = r^2 - 20 + 6 \times \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z - \frac{5}{3}} \right)^2 = r^2 - \frac{{10}}{3} \] Como membro esquerdo da equação temos uma soma de quantidades não negativas, então, o segundo membro também é não negativo, ou seja, \[r^2 - \frac{{10}}{3}\geq0\] Como $r$ é o raio de uma superfície esférica, $r> 0$, logo. $r\geq\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$. Por outro lado, sabe-se que esta equação só deve ter uma solução em $x$ e $z$ (só há um ponto comum à superfície e ao plano:o ponto de tangência), logo, temos de ter que a soma do membro esquerdo é zero, e $r=\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$.
Então \[z=\frac{5}{3}\] E \[x=-2(z-2)=\frac{2}{3}\] Logo \[y=\frac{1}{3}\] Portanto \[P=O+2\vect{OT}=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Considere-se a superfície esférica de centro $O$ e tangente ao plano. \[x^2+y^2+z^2=r^2\] O ponto de tangência $T$ é a única solução do sistema \[ \left\{ {\begin{array}{c} {x^2 + y^2 + z^2 = r^2 } \\ {2x + y + 5z = 10} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x^2 + 4x^2 + 20xz - 40x + 25z^2 - 100z + 100 + z^2 = r^2 } \\ {y = 10 - 2x - 5z} \end{array}} \right. \] A equação de cima do sistema é equivalente a \[ {5\left( {x^2 + 4x\left( {z - 2} \right)} \right) + 26z^2 - 100z = r^2 - 100} \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 26z^2 - 100z - 20z^2 + 80z - 80 = r^2 - 100 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6z^2 - 20z = r^2 - 20 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z^2 - \frac{{10}}{3}z + \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 } \right) = r^2 - 20 + 6 \times \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z - \frac{5}{3}} \right)^2 = r^2 - \frac{{10}}{3} \] Como membro esquerdo da equação temos uma soma de quantidades não negativas, então, o segundo membro também é não negativo, ou seja, \[r^2 - \frac{{10}}{3}\geq0\] Como $r$ é o raio de uma superfície esférica, $r> 0$, logo. $r\geq\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$. Por outro lado, sabe-se que esta equação só deve ter uma solução em $x$ e $z$ (só há um ponto comum à superfície e ao plano:o ponto de tangência), logo, temos de ter que a soma do membro esquerdo é zero, e $r=\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$.
Então \[z=\frac{5}{3}\] E \[x=-2(z-2)=\frac{2}{3}\] Logo \[y=\frac{1}{3}\] Portanto \[P=O+2\vect{OT}=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Obs: Nenhuma das resoluções até agora apresentadas, é exigível a um aluno de 10º
domingo, 19 de março de 2017
Problemas de unicidade
Equações vectoriais da recta já estão no ensino secundário há muitos, mas mesmo muitos anos. Todos os anos vejo enunciados de exercícios e problemas com gralhas de português. E já dou um exemplo:
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:
Qualquer equação da forma \[(x,y)=(a,b)+k(v_1,v_2),k\in \R \] consegue ser reescrita na forma de equações paramétricas: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+kv_1} \\ {y = b+kv_2} \end{array};k \in \R} \right. \] E só por isso já temos uma infinidade de equações paramétricas.
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!
Exercício
Considere no referencial o.n $xOy$ os pontos $A(1,-2)$ e $B(-2,1)$.
a) Indique a equação vectorial da recta $AB$.
b) Indique as equações paramétricas da recta $AB$.
E depois de eu ter escrito a negrito a na alínea a) e as na alínea b), o leitor com alguns conhecimentos de Matemática já terá percebido o problema! Nenhuma das questões tem resposta única!Considere no referencial o.n $xOy$ os pontos $A(1,-2)$ e $B(-2,1)$.
a) Indique a equação vectorial da recta $AB$.
b) Indique as equações paramétricas da recta $AB$.
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:
\begin{eqnarray*}
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-3,3); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(3,-3); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-1,1); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\
{}&{\vdots}&{}
\end{eqnarray*}
Isto porque na verdade, qualquer vector de declive $-1$ pode ser usado!
Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos $A$ e $B$!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula \[A+\lambda \vect{AB}; \lambda \in \R\] também pode ser utilizado!
Assim sendo, são válidas também as respostas:
\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(-2,1)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(-1,0)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(0,-1)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(2,-3)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*}
E a alínea b) sofre do mesmo mal, versão pior: É impossível listar todas...Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos $A$ e $B$!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula \[A+\lambda \vect{AB}; \lambda \in \R\] também pode ser utilizado!
Assim sendo, são válidas também as respostas:
\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(-2,1)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(-1,0)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(0,-1)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(2,-3)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*}
Qualquer equação da forma \[(x,y)=(a,b)+k(v_1,v_2),k\in \R \] consegue ser reescrita na forma de equações paramétricas: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+kv_1} \\ {y = b+kv_2} \end{array};k \in \R} \right. \] E só por isso já temos uma infinidade de equações paramétricas.
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{x = a+(\tan \theta \times v_1)} \\
{y = b+(\tan \theta \times v_2)}
\end{array};\theta \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[} \right.
\]
E aqui ainda temos a liberdade de deslocar o intervalo por um múltiplo inteiro de $\pi$!
Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...
E quem diz estas, diz muitas mais...Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!
PS: o autor está-se nas tintas para o acordo ortográfico de 1990! Prendam-no por não o utilizar!
sábado, 18 de março de 2017
Após o 9º ano: Matemática A ?
Matemática A não é difícil mas requer bases e trabalho.
Assim sendo, parece-me boa ideia os alunos que não chegam aos 50% na prova final de 9º ano pensarem bem antes de escolher o que vão fazer no ensino secundário.
A teoria do "dá para passar" que se instala em algumas mentes é inimiga do sucesso...
Assim sendo, parece-me boa ideia os alunos que não chegam aos 50% na prova final de 9º ano pensarem bem antes de escolher o que vão fazer no ensino secundário.
A teoria do "dá para passar" que se instala em algumas mentes é inimiga do sucesso...
segunda-feira, 21 de novembro de 2016
quarta-feira, 21 de outubro de 2015
Lógica - 10º ano
Memorizando tabelas de verdade
Com a entrada em vigor dos novos programas, por forma a apoiar os alunos a memorizar as "tabuadas lógicas", um dos programas para calculadora (sim, muito mais do que um) que acabei por desenvolver com um sucesso ligeiramente superior ao esperado foi o programa "Cálculo Lógico".
Deixo-vos hoje com uma animação da versão mais recente para máquinas CASIO fx-CG20.
A versão anterior neste momento está nas calculadoras dos meus explicandos e eventualmente um dia acabará online num dos meus sites/blogs...(neste momento estou a redesenhar a secção de calculadoras deste blog, e em breve a nova versão da secção estará disponível)
Esta nova versão, para já pode ser instalada nas máquinas dos meus explicandos de 10º que estejam interessados (mas penso que não há necessidade pois já todos sabem)
Até me lembrar a carregar pilhas não há novos programas para esta máquina.
Quanto a formulários, todos os alunos ou têm um fornecido pelos seus professores ou fizeram um próprio seu.
Deixo-vos hoje com uma animação da versão mais recente para máquinas CASIO fx-CG20.
A versão anterior neste momento está nas calculadoras dos meus explicandos e eventualmente um dia acabará online num dos meus sites/blogs...(neste momento estou a redesenhar a secção de calculadoras deste blog, e em breve a nova versão da secção estará disponível)
Esta nova versão, para já pode ser instalada nas máquinas dos meus explicandos de 10º que estejam interessados (mas penso que não há necessidade pois já todos sabem)
Até me lembrar a carregar pilhas não há novos programas para esta máquina.
Quanto a formulários, todos os alunos ou têm um fornecido pelos seus professores ou fizeram um próprio seu.
quinta-feira, 13 de março de 2014
O vértice da parábola - uma outra abordagem
Se considerarmos uma função quadrática real genérica f(x) = ax2 + bx + c,
existem algumas formas distintas de obter as coordenadas do vértice da parábola
que é o gráfico desta função.
Ora, o vértice da parábola é o único ponto de intersecção de uma parábola com
uma certa recta horizontal de equação y = k.
Com isto em mente, vamos determinar o valor de k e as coordenadas do
vértice.
Sendo o vértice o único ponto comum a essa recta e a essa parábola, as suas
coordenadas são as soluções do sistema:
Ora, para que a solução seja única temos de ter
E portanto a coordenada x será:
E, a coordenada y terá o valor de k, pois o vértice pertence à recta y = k.
Assim sendo basta-nos recorrer à equação
e resolver.
E, então as coordenadas do vértice são:
Para os que têm uma calculadora gráfica programável: sim também dá para "meter" na calculadora...
Bons estudos
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