Explicações de Matemática
por Carlos Paulo A. Freitas
quinta-feira, 26 de dezembro de 2019
Feliz 2020
2019 está a acabar.
Marca o final de (mais) uma década.
Cada pessoa que me procura, é filha, sobrinha, neta, ... familiar de alguém. E da minha parte teve, tem e terá sempre o melhor que me é possível!
A todos os actuais e anteriores explicandos e todos os seus familiares desejo um óptimo 2020, cheio de sucessos.
sábado, 7 de dezembro de 2019
Sugestões de livros para o ensino secundário 2019/2020
Os livros que se seguem são livros que podem ser sugeridos aos alunos que pretendam trabalhar com um apoio extra (em Portugal) mesmo sem recorrer a explicações.
Esta página estará disponível até ao final do presente ano lectivo a partir do menu Livros/sugestões, por baixo do título da página.
Quanto aos livros recomendados, esta lista não é exaustiva e pode aumentar ao longo do ano.
Como habitualmente, aos alunos que frequentam as minhas explicações, não exijo qualquer material extra a não ser o que eu próprio forneço.
Algumas observações relativas a Matemática A, 12º:
Aos alunos que frequentam o 12º, sugiro que adquiram um livro de preparação para exames.
No entanto, neste ano temos uma situação diferente da dos dois anos anteriores: o exame vai ter só uma versão, um só caderno e é permitido o uso de calculadora gráfica durante todo o exame!
O exame vai incidir sobre alguns temas do actual programa. Aquilo que se designam por "aprendizagens essenciais"
Neste momento partilho apenas informações sobre os livros que consultei.
Como sempre, faço notar que não recebo qualquer tipo de comissão sobre a venda destes livros, nem sequer tenho qualquer desconto na compra deles porque sendo apenas explicador, ou seja, não estando colocado numa escola, as editoras "não me reconhecem" como professor...
Simplesmente passei os olhos com algum cuidado em cada um deles e merecem a minha aprovação.
Se conhece outros livros igualmente bons, ou melhores na sua opinião, envie-me uma sugestão, eu consulto o livro assim que me for possível (por exemplo num hipermercado ou numa Fnac ou numa Bertrand...) e se eu concordar que é um bom livro, terei todo o prazer em juntá-lo aqui à lista.
Atenção:
Mas eu, não sou editor de nenhum destes livros, portanto... quem como eu é contra, não tem grandes alternativas.
Esta página estará disponível até ao final do presente ano lectivo a partir do menu Livros/sugestões, por baixo do título da página.
Quanto aos livros recomendados, esta lista não é exaustiva e pode aumentar ao longo do ano.
Como habitualmente, aos alunos que frequentam as minhas explicações, não exijo qualquer material extra a não ser o que eu próprio forneço.
Algumas observações relativas a Matemática A, 12º:
Aos alunos que frequentam o 12º, sugiro que adquiram um livro de preparação para exames.
No entanto, neste ano temos uma situação diferente da dos dois anos anteriores: o exame vai ter só uma versão, um só caderno e é permitido o uso de calculadora gráfica durante todo o exame!
O exame vai incidir sobre alguns temas do actual programa. Aquilo que se designam por "aprendizagens essenciais"
Neste momento partilho apenas informações sobre os livros que consultei.
Ano | livro | Título | autor(es) | Edição/Ano | Editora |
---|---|---|---|---|---|
12º | Preparar o Exame 2020 - Matemática A - 12.º Ano OBS: Atenção à ERRATA | Ana Sofia Martins Helena Salomé Liliana dos Prazeres Silva José Carlos da Silva Pereira | Edição de 2019 | Raiz Editora | |
12º | Preparar o Exame 12 - Matemática A - 12.º Ano | Roberto Oliveira | Edição de 2017 | Texto Editores |
Simplesmente passei os olhos com algum cuidado em cada um deles e merecem a minha aprovação.
Se conhece outros livros igualmente bons, ou melhores na sua opinião, envie-me uma sugestão, eu consulto o livro assim que me for possível (por exemplo num hipermercado ou numa Fnac ou numa Bertrand...) e se eu concordar que é um bom livro, terei todo o prazer em juntá-lo aqui à lista.
Atenção:
- Em relação ao 12º, eu sugiro principalmente os livros que façam uma revisão de todos os anos do ensino secundário, pois para a matéria de 12º, os alunos já têm o livro de texto adoptado pela escola
- não atribuo uma classificação aos livros (...) a não ser se merece estar aqui ou não...
- Esta página pode ser editada a qualquer altura do ano lectivo para correcções ou juntar outros livros
Mas eu, não sou editor de nenhum destes livros, portanto... quem como eu é contra, não tem grandes alternativas.
Livros recomendados anteriormente:
sexta-feira, 29 de novembro de 2019
Noção das coisas...
Explicador é uma profissão mal compreendida.
Antes de procurar um explicador, é boa ideia prestar atenção nas aulas.
Se mesmo assim as coisas correrem mal, então sim, procurem um explicador.
É muito frustrante e desmoralizador estar a trabalhar com uma pessoa que não se esforça, que não nos ouve, que nos ignora!
"Está a pagar para isso."... não é desculpa. Há coisas mais importantes do que o dinheiro.
Quando um explicador sugere a um aluno que procure outro, é porque percebe que as coisas não estão a funcionar, já esgotou as suas opções e é uma das coisas mais honestas que pode fazer.
Um explicador que não se preocupe é um mau profissional. Está apenas a aproveitar-se da situação.
Da mesma forma, um aluno que não se esforce está a desrespeitar mais do que duas pessoas: o professor, o explicador e quem está a pagar as explicações.
Há professores que "não gostam de explicadores".
Bem, nos meus tempos de professor, uma vez tive vários alunos que me apareceram com coisas que não ensinei, e mais do que isso, estavam erradas.
Tentei perceber onde tinham "aprendido" aquilo.
Na minha ingenuidade pensei que pudessem estar a consultar bibliografia com erros.
Resposta: "Aprendi numa explicação".
Bem, pareceu-me que alguém ser esqueceu de uma lição básica: Em explicações deve-se olhar para os apontamentos dos alunos e para o material fornecido pelo professor.
Não me incomodava que recorressem a explicações.
Incomodou-me que preferissem as versões erradas e não tivessem percebido que aquilo estava errado.
Significava que estavam a memorizar regras em vez de usar a cabeça.
Em Matemática incomoda-me ver pessoas com essa mentalidade.
Agora, como explicador, vejo alunos que me chegam com cadernos, de professores com essa mentalidade e "sinto-me urso"...
Por vezes até com erros "copiados do quadro". Tenho de suspeitar do aluno, mexer cordelinhos e confirmar a informação. Na maior parte das vezes percebe-se que o erro foi do aluno a passar, mas... há um número considerável de vezes em que o erro não é do aluno.
Ás vezes até se encontram erros (graves) nos apontamentos dos alunos.
(Provar que uma afirmação está errada costuma ser fácil: normalmente basta arranjar um contra-exemplo, um exemplo em que aquilo não funciona)
Perceber a origem do erro, se é do aluno ou do professor, é fundamental.
Porque é necessário evitar conflitos entre o aluno e o professor, pois é o professor quem está a fazer a avaliação.
E sim, há professores que ou não são as pessoas mais indicadas para dar certas cadeiras/disciplinas, ou estão a passar um momento complicado e que por isso cometem erros.
Há que perceber o que se passa. Errar é humano e temos nas nossas mãos compreender se "o professor ensina errado" ou se foi um engano. Porque é o professor que vai avaliar o aluno.
Ignorar o que o professor ensina na aula é de um mau profissionalismo terrível.
"Isto são explicações e este é o meu método, se queres, queres, se não queres, procura outro." (já ouvi isto)
Bem...
Se calhar eu devia pensar assim, mas isso não sou eu.
Eu importo-me.
Recuso situações que já sei à partida que vão correr mal. Não tem a ver com pessimismo ou optimismo. Tem a ver com já andar nisto há tempo suficiente para saber...
Se calhar não devia importar-me... Sou descartável.
Muitas pessoas não se importam comigo.
Depois de vários anos de explicações, são capazes de passar por mim e até fingir que não me conhecem. Porque me importo eu?
Devia magoar-me, e às vezes sim, a mágoa sente-se... mas ao fim de alguns anos até a isso uma pessoa se habitua.
Ás vezes pensava: "se calhar não presto, ou sou má pessoa... ou fui incompetente."Passei a analisar registos... Afinal, não fui incompetente. Fiz mesmo tudo o me foi possível... Mais do que devia até. Não tenho nada de que me envergonhar.
Agora, no princípio do ano lectivo, estive de baixa médica forçada. Informei os meus explicandos do ano anterior, informando de quando podia recomeçar.
Alguns simplesmente abandonaram-me.
Bem, eu quero sempre o melhor para eles, se o melhor foi procurar outro...
Eu tenho plena noção da minha descartabilidade. Não sou eu que dou notas. Há mil e um outros explicadores "na praça". Eu não sou importante.
Por melhor que eu seja ou queira ser... sou substituível.
Eu há muitos anos que tenho a filosofia "não fico onde não me querem".
Isso também se aplica às pessoas, não fico nas vidas de quem não me quer nelas.
Se calhar com o passar dos anos fui perdendo qualidades... ou se calhar nunca as tive.
Era suposto isto ser algo provisório, mas tornou-se permanente.
Os meus problemas de saúde são crónicos. Eles voltam, mesmo tendo eu todos os cuidados.
Se calhar...
"Isto são explicações, se queres, queres, se não queres, procura outro."
Não deve ser má política... ou se calhar, eu devia começar a pensar numa carreira alternativa. Ando há uns anos a pensar em escrever profissionalmente. E até a pensar em alguns conceitos para o Youtube.
Mas não me apetece ser "só mais um" (este "só mais um", está aqui por causa de algo que um dia me disseram na cara, e na altura marcou-me).
Não quero uma vida sem Matemática...
Este blog tem estado desactualizado porque tenho estado sem saúde, sem cabeça e sem tempo. Fora isso o Blogger/Google tem feito algumas modificações nas suas políticas, e código que me obrigam a repensar muita coisa.
A vida continua. Por enquanto, continuo aqui para quem quiser e precisar de mim.
Pode não parecer, mas eu ainda tenho noção das coisas.
Até à próxima...
PS: A minha conta pessoal do facebook está de férias.
Antes de procurar um explicador, é boa ideia prestar atenção nas aulas.
Se mesmo assim as coisas correrem mal, então sim, procurem um explicador.
É muito frustrante e desmoralizador estar a trabalhar com uma pessoa que não se esforça, que não nos ouve, que nos ignora!
"Está a pagar para isso."... não é desculpa. Há coisas mais importantes do que o dinheiro.
Quando um explicador sugere a um aluno que procure outro, é porque percebe que as coisas não estão a funcionar, já esgotou as suas opções e é uma das coisas mais honestas que pode fazer.
Um explicador que não se preocupe é um mau profissional. Está apenas a aproveitar-se da situação.
Da mesma forma, um aluno que não se esforce está a desrespeitar mais do que duas pessoas: o professor, o explicador e quem está a pagar as explicações.
Há professores que "não gostam de explicadores".
Bem, nos meus tempos de professor, uma vez tive vários alunos que me apareceram com coisas que não ensinei, e mais do que isso, estavam erradas.
Tentei perceber onde tinham "aprendido" aquilo.
Na minha ingenuidade pensei que pudessem estar a consultar bibliografia com erros.
Resposta: "Aprendi numa explicação".
Bem, pareceu-me que alguém ser esqueceu de uma lição básica: Em explicações deve-se olhar para os apontamentos dos alunos e para o material fornecido pelo professor.
Não me incomodava que recorressem a explicações.
Incomodou-me que preferissem as versões erradas e não tivessem percebido que aquilo estava errado.
Significava que estavam a memorizar regras em vez de usar a cabeça.
Em Matemática incomoda-me ver pessoas com essa mentalidade.
Agora, como explicador, vejo alunos que me chegam com cadernos, de professores com essa mentalidade e "sinto-me urso"...
Por vezes até com erros "copiados do quadro". Tenho de suspeitar do aluno, mexer cordelinhos e confirmar a informação. Na maior parte das vezes percebe-se que o erro foi do aluno a passar, mas... há um número considerável de vezes em que o erro não é do aluno.
Ás vezes até se encontram erros (graves) nos apontamentos dos alunos.
(Provar que uma afirmação está errada costuma ser fácil: normalmente basta arranjar um contra-exemplo, um exemplo em que aquilo não funciona)
Perceber a origem do erro, se é do aluno ou do professor, é fundamental.
Porque é necessário evitar conflitos entre o aluno e o professor, pois é o professor quem está a fazer a avaliação.
E sim, há professores que ou não são as pessoas mais indicadas para dar certas cadeiras/disciplinas, ou estão a passar um momento complicado e que por isso cometem erros.
Há que perceber o que se passa. Errar é humano e temos nas nossas mãos compreender se "o professor ensina errado" ou se foi um engano. Porque é o professor que vai avaliar o aluno.
Ignorar o que o professor ensina na aula é de um mau profissionalismo terrível.
"Isto são explicações e este é o meu método, se queres, queres, se não queres, procura outro." (já ouvi isto)
Bem...
Se calhar eu devia pensar assim, mas isso não sou eu.
Eu importo-me.
Recuso situações que já sei à partida que vão correr mal. Não tem a ver com pessimismo ou optimismo. Tem a ver com já andar nisto há tempo suficiente para saber...
Se calhar não devia importar-me... Sou descartável.
Muitas pessoas não se importam comigo.
Depois de vários anos de explicações, são capazes de passar por mim e até fingir que não me conhecem. Porque me importo eu?
Devia magoar-me, e às vezes sim, a mágoa sente-se... mas ao fim de alguns anos até a isso uma pessoa se habitua.
Ás vezes pensava: "se calhar não presto, ou sou má pessoa... ou fui incompetente."Passei a analisar registos... Afinal, não fui incompetente. Fiz mesmo tudo o me foi possível... Mais do que devia até. Não tenho nada de que me envergonhar.
Agora, no princípio do ano lectivo, estive de baixa médica forçada. Informei os meus explicandos do ano anterior, informando de quando podia recomeçar.
Alguns simplesmente abandonaram-me.
Bem, eu quero sempre o melhor para eles, se o melhor foi procurar outro...
Eu tenho plena noção da minha descartabilidade. Não sou eu que dou notas. Há mil e um outros explicadores "na praça". Eu não sou importante.
Por melhor que eu seja ou queira ser... sou substituível.
Eu há muitos anos que tenho a filosofia "não fico onde não me querem".
Isso também se aplica às pessoas, não fico nas vidas de quem não me quer nelas.
Se calhar com o passar dos anos fui perdendo qualidades... ou se calhar nunca as tive.
Era suposto isto ser algo provisório, mas tornou-se permanente.
Os meus problemas de saúde são crónicos. Eles voltam, mesmo tendo eu todos os cuidados.
Se calhar...
"Isto são explicações, se queres, queres, se não queres, procura outro."
Não deve ser má política... ou se calhar, eu devia começar a pensar numa carreira alternativa. Ando há uns anos a pensar em escrever profissionalmente. E até a pensar em alguns conceitos para o Youtube.
Mas não me apetece ser "só mais um" (este "só mais um", está aqui por causa de algo que um dia me disseram na cara, e na altura marcou-me).
Não quero uma vida sem Matemática...
Este blog tem estado desactualizado porque tenho estado sem saúde, sem cabeça e sem tempo. Fora isso o Blogger/Google tem feito algumas modificações nas suas políticas, e código que me obrigam a repensar muita coisa.
A vida continua. Por enquanto, continuo aqui para quem quiser e precisar de mim.
Pode não parecer, mas eu ainda tenho noção das coisas.
Até à próxima...
PS: A minha conta pessoal do facebook está de férias.
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Opinião
quarta-feira, 10 de julho de 2019
Contactos/explicações.
Peço que não me liguem, nem me enviem mensagens/convites nas redes sociais...
Enviem-me um email, com a vossa disponibilidade horária e se quiserem, o vosso número para eu vos ligar/responder por email.
Ou usem a secção contacto ali ao lado - >
PS: (05/09/2019) Estou com problemas de saúde e estou de baixa até ao dia 5 de Outubro.
Enviem-me um email, com a vossa disponibilidade horária e se quiserem, o vosso número para eu vos ligar/responder por email.
Ou usem a secção contacto ali ao lado - >
PS: (05/09/2019) Estou com problemas de saúde e estou de baixa até ao dia 5 de Outubro.
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explicações
sábado, 15 de junho de 2019
Rodinhas eternas
Faz-me muita impressão um aluno de 12º ao ter de resolver a equação $x^2-3x+2=0$ escrever $a=1, b=-3, c=2$ ...
Da mesma forma faz-me impressão ver um licenciado, ao ter de calcular o integral
\[
\int\limits_1^2 {x\cos \left( {\pi x} \right)} dx
\]
escrever $u'=\cos \left( {\pi x} \right)$ e $v=x$, e ter mesmo de escrever a fórmula
\[
\int\limits_a^b {u'v} dx = \left[ {uv} \right]_a^b - \int\limits_a^b {uv} 'dx
\]
Ora, se para um aluno aplicar a fórmula resolvente não deve ser obrigatório o aluno escrever a fórmula resolvente, identificar os parâmetros $a, b$ e $c$, porque há de ser obrigatório identificar as funções "$u'$" e "$v$"?
Não conseguir "passar à frente" ilustra uma séria deficiência de formação, ou um verdadeiro apego ao "facilitismo" porque alegadamente "é mais fácil" ter as fórmulas à frente.
Quando uma criança aprende a andar de bicicleta, é normal utilizar as rodinhas laterais... mas não as usa a vida toda!
No caso da integração por partes, basta ter noção que há uma função que vai ser primitivada e outra que vai ser derivada, e escolher qual é qual. Este apego a $u$'s e $v$'s é algo que deve passar depois de terem aprendido a fórmula...
Na verdade isto parece-me ser uma entre muitas modas pouco saudáveis como a que "em Matemática não se deve usar a memória" sendo por exemplo batida pela moda de que as matemáticas devem ser disciplinas de "receitas"...
Quando uma criança aprende a andar de bicicleta, é normal utilizar as rodinhas laterais... mas não as usa a vida toda!
No caso da integração por partes, basta ter noção que há uma função que vai ser primitivada e outra que vai ser derivada, e escolher qual é qual. Este apego a $u$'s e $v$'s é algo que deve passar depois de terem aprendido a fórmula...
Na verdade isto parece-me ser uma entre muitas modas pouco saudáveis como a que "em Matemática não se deve usar a memória" sendo por exemplo batida pela moda de que as matemáticas devem ser disciplinas de "receitas"...
sexta-feira, 12 de abril de 2019
Deve ser normal
Se X segue uma normal(0,1), qual é a probabilidade de X estar na vizinhança de zero, raio 0.8/62.6?
Como resolver numa calculadora CASIO?
Resolução 1
Resolução 2
Resolução 3
Como resolver numa calculadora CASIO?
Resolução 1
Resolução 2
Resolução 3
segunda-feira, 1 de abril de 2019
O voo picado
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Mecânica Clássica
quarta-feira, 27 de março de 2019
Função Quadrática:programa de calculadora (animação)
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Matemática A - 10º ano
quarta-feira, 20 de fevereiro de 2019
(programa de calculadora) Séries de Mengoli
Hoje partilho mais um programa saído do meu arquivo (este é do ano 2000). Na altura eu dava aulas de Matemática ao curso de Gestão na Universidade da Madeira.
Só notei que o cálculo de somas de séries do tipo
\[
\sum\limits_{n = k}^\infty {\frac{c}{{\left( {qn + r} \right)\left( {qn + s} \right)}}}
\]
Era tão tão mecânico que era implementável numa calculadora.
Tal como no post anterior, limitei-me a deduzir a fórmula para o caso geral, converter em código e implementar
Na animação, são testados os exemplos
\[
\sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{1}{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)}}}
\]
e
\[
\sum\limits_{n = 4}^\infty {\frac{1}{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)}}}
\]
Mas se desejar, pode utilizar outros exemplos dados neste blog.
O programa original foi implementado numa Casio cfx-9850G. Mais tarde convertido para Fx1.0/Fx2.0, e ainda mais tarde, para as (actuais) fx-9860GII e fx-Cg10/20/50
Tal como no post anterior, limitei-me a deduzir a fórmula para o caso geral, converter em código e implementar
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Séries de Mengoli
sábado, 16 de fevereiro de 2019
Um programa de improviso
No site do professor Roberto Oliveira,
No terceiro teste de matemática A 11º para o ano lectivo 2018/2019, página 5 está o exercício 5
Exercício:(Nível de dificuldade: baixo... sem querer ofender)
Considere a sucessão definida por \[b_n=\frac{2n+5}{n+1}\]
No terceiro teste de matemática A 11º para o ano lectivo 2018/2019, página 5 está o exercício 5
Exercício:(Nível de dificuldade: baixo... sem querer ofender)
Considere a sucessão definida por \[b_n=\frac{2n+5}{n+1}\]
- Estude a sucessão $(b_n)$ quanto à monotonia.
- Mostre que $(b_n)$ é limitada e indique o supremo e o ínfimo.
Nota: Supremo é o menor dos majorantes de $(b_n)$ e ínfimo é o maior dos minorantes de $(b_n)$. - Verifique se $\displaystyle\frac{7}{3}$ é termo de $(b_n)$ e, em caso afirmativo, indique a sua ordem.
- \[b_{n+1}-b_n=-\frac{3}{(n+1)(n+2)}≤0\] Logo a sucessão $(b_n)$ é monótona decrescente.
- Sendo $(b_n)$ monótona decrescente, o maior termo da sucessão é o primeiro, logo $b_1 ≥ b_n \Leftrightarrow \displaystyle\frac{7}{2} ≥ b_n$
Por outro lado, \[ b_n=2+\frac{3}{n+1}>2\]. Assim sendo \[2 < b_n \leq \frac{7}{2}\]O ínfimo é $2$ e o supremo $\displaystyle\frac{7}{2}$. - $b_n =\displaystyle\frac{7}{3} \Leftrightarrow n=8$. Espero não ter sido muito rápido.
Hoje, durante uma explicação tinha o referido site aberto no meu computador e pedi a uma explicanda que resolvesse este exercício.
Enquanto ela o resolvia, eu... resolvia as duas primeiras alíneas do exercício para a sucessão \[B_n=\frac{an+b}{cn+d}\] As expressões \[B_{n+1}-B_n=\frac{(a+b)d-b(c+d)}{(cn+d)(cn+c+d)}\] e \[B_n=\frac{a}{c}+\frac{b-\displaystyle\frac{ad}{c}}{cn+d}\] Mostram que no primeiro exercício o numerador é sempre um número real. E se as contas do 2º estão certas...
Portanto se o aluno me mostra uma expressão na variável $n$ há um erro de contas.
A aluna olhou meia assustada para a minha expressão, e eu disse-lhe:
-- Isto dá-me o caso geral para expressões deste tipo.
Se eu meter isto na calculadora passo a ter sempre as soluções certas e tu podes inventar sucessões e treinar até deixares de fazer erros de contas.
Por pior que seja a expressão geral, é a calculadora que vai fazer as contas e não eu.
E escrevi um programa que na altura chamei $F$.
Hoje estou sem muita imaginação.
O programa dá apenas os numeradores das fracções.
PS: "De improviso" pode não ser o mais recomendável. Por vezes traz erros.
sexta-feira, 18 de janeiro de 2019
Um integral das redes sociais
Assim que me for possível deixo uma resolução minha
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