Distância de um ponto a um plano (I)

Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:

\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica. \[\overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.

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PS: qualquer aluno que utilizasse esta fórmula (correcta) no exame nacional teria cotação zero, pois não está no programa de Matemática A

Problemas de unicidade

Equações vectoriais da recta já estão no ensino secundário há muitos, mas mesmo muitos anos. Todos os anos vejo enunciados de exercícios e problemas com gralhas de português. E já dou um exemplo:

Exercício
Considere no referencial o.n $xOy$ os pontos $A(1,-2)$ e $B(-2,1)$.
    a) Indique a equação vectorial da recta $AB$.
    b) Indique as equações paramétricas da recta $AB$.

E depois de eu ter escrito a negrito a na alínea a) e as na alínea b), o leitor com alguns conhecimentos de Matemática já terá percebido o problema! Nenhuma das questões tem resposta única!
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:

\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*} Isto porque na verdade, qualquer vector de declive $-1$ pode ser usado!
Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos $A$ e $B$!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula \[A+\lambda \vect{AB}; \lambda \in \R\] também pode ser utilizado!
Assim sendo, são válidas também as respostas:
\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(-2,1)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(-1,0)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(0,-1)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(2,-3)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*}

E a alínea b) sofre do mesmo mal, versão pior: É impossível listar todas...
Qualquer equação da forma \[(x,y)=(a,b)+k(v_1,v_2),k\in \R \] consegue ser reescrita na forma de equações paramétricas: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+kv_1} \\ {y = b+kv_2} \end{array};k \in \R} \right. \] E só por isso já temos uma infinidade de equações paramétricas.
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!

\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+(\tan \theta \times v_1)} \\ {y = b+(\tan \theta \times v_2)} \end{array};\theta \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[} \right. \] E aqui ainda temos a liberdade de deslocar o intervalo por um múltiplo inteiro de $\pi$!
Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...

E quem diz estas, diz muitas mais...
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!

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PS: o autor está-se nas tintas para o acordo ortográfico de 1990! Prendam-no por não o utilizar!

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Resolução de Triângulos em calculadoras (III)

Como prenda de Natal e final de ano partilho aqui o programa de resolução de triângulos para calculadoras CASIO fx-9860 GII (e GI actualizadas ao máximo possível) e fx-CG20
Inicialmente partilhada só na página do facebook, agora é 100% público, e adicionei um manual de instruções que pode ser útil, nem que seja para aprender um truque...

Manual	.g1m	.g3m

Boas Festas!

Resolução de Triângulos em calculadoras (II)

Transportar código escrito em basic para outras calculadoras (incluindo máquinas TI) para a nSpire consegue ser um verdadeiro desafio.
Assim, optei por programar em LUA, mas ainda vai levar o seu tempo (esperemos que pouco...) até eu começar a distribuir ficheiros .tns para calculadoras TI nSpire CX (também CAS).

Resolução de Triângulos em calculadoras (I)

Em breve...

O programa ainda está em desenvolvimento, mas deve estar pronto até ao fim da semana.

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UPDATE (20/09/2016)

• A primeira versão está pronta! Para já está exclusivamente disponível na nossa página Facebook
• Estará disponível neste blog assim que vier a nova secção de calculadoras !

(Geogebra)Taxa média de variação e taxa de variação (instantânea): secante e tangente

De um esquema de Hiparco ao cosseno do ângulo generalizado

Passar com negativa no ensino secundário

Nos últimos anos tenho me deparado com a bizarra situação de ver alunos nos 10º e 11º passarem com notas 8 ou 9... (é possível sim, ver aqui)
Tendo em conta que na avaliação entram outros factores para além do conhecimento/notas dos exames, o cenário é aterrador pois significa que os alunos transitam com um grande défice de conhecimento.
Este ano, não foi excepção, e mais uma vez assisto ás contas desesperadas de quem passou com nota abaixo de 10 (e só me procurou a meio do ano lectivo... explicações de Matemática levam algum tempo a sortir efeito, quando se trata de falta de bases ou de maus hábitos de trabalho)

Quando em explicações peço a estes alunos para lutarem desde princípio para o 20, pensam que estou a gozar. Não estou! É um assunto demasiado sério. E realisticamente, duvido que atinjam o 20, mas é a luta.
 a sério que faz os os resultados aparecerem..
Ora, as explicações existem para colmatar falhas e corrigir hábitos nos alunos,e com uma luta destas podemos detectar muito do que está mal..
Mas estes alunos têm mesmo de trabalhar.
(Já agora... sim já uma vez consegui que um destes alunos tivesse um 20.. até hoje acho que ele próprio está incrédulo)

Estas más notas acabam por gerar uma falta de confiança, que mesmo com explicações é complicado inverter.
Já tive vários casos de sucesso a inverter esta mentalidade, a que se seguiram notas razoáveis nos testes e alguns insucessos  mas com melhoria significativa nos testes.

Sem trabalho não há resultados, e sem confiança... o trabalho não rende.
Em Matemática, pela sua especificidade, o trabalho é fundamental, e uma confiança muito abalada não ajuda em nada (e aqui posso falar por exemplo, do meu último mestrado onde havia uma peça...).

Eu acabo por insistir, por vezes tornando-me chato..., mas tento sempre fornecer material que seja interessante (gostam das ninhas blog-apps? São apenas 1% do material que uso...)...

Tenho imensa pena de ver alunos desistir de Matemática por acharem que não são capazes...
Alunos a quem não falta inteligência, mas falta motivação e trabalho.
Há alunos que simplesmente se recusam a trabalhar para ultrapassar as suas dificuldades.
Outras vezes, tenho de reconhecer que por vezes o maior motivo da falta de confiança reside no professor (mas alto lá... acusar um professor, não é algo que eu faça de ânimo leve. até porque  a maioria dos profissionais que eu conheço, e de onde vêm muitos alunos para as minhas explicações são excelentes e dedicados profissionais, portanto, antes de acusar um professor, procure exaustivamente todas as causas possíveis...)

Por outro lado, existem aqueles alunos que apanham tudo á primeira, e para quem tudo é facil... Mas atenção, pode haver sempre uma altura em que as coisas não sejam assim, e portanto, a falta de trabalho pode levar a um descarrilamento total, que é o que acontece muitas vezes, quando há uma mudança. Ou de professor, ou de escola, ou de turma...

Permitir passar com negativa é dar uma carta de confiança a um aluno, mas o que tenho visto... é desesperante. Alguém tem de convencer estes alunos que só com trabalho se ultrapassam as dificuldades, de preferência sem os traumatizar...

Permitir passar com negativa pode ter sido uma boa intenção... mas para muita gente, essa opção é muito discutível, visto que acaba por complicar também as contas de acesso ao ensino superior..

Compreendo que nem todos possam gostar de Matemática... mas tem sido desesperante ver alunos e mesmo ex-alunos em situações bem complicadas, alunos que por mais que eu queira ajudar, não consigo fazer milagres... :(  e por vezes... tenho mesmo de recusar dando a triste notícia de que já nada se pode fazer.