A coisa mais estranha que já vi escrita num exame nacional.
Explicações de Matemática
por Carlos Paulo A. Freitas
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sexta-feira, 6 de julho de 2018
quinta-feira, 28 de junho de 2018
Distância de um ponto a um plano (I)
Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:
\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica. \[\overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.
PS: qualquer aluno que utilizasse esta fórmula (correcta) no exame nacional teria cotação zero, pois não está no programa de Matemática A
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:
\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica. \[\overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.
PS: qualquer aluno que utilizasse esta fórmula (correcta) no exame nacional teria cotação zero, pois não está no programa de Matemática A
domingo, 8 de outubro de 2017
Os carros ainda precisam de condutores.
(fonte: Livro Expoente 12, edição de 2017, Volume 1, página 57, exercício 27)
Problema
Dez pessoas vão viajar em dois carros, um com seis lugares e o outro com quatro lugares.
Sabendo que apenas cinco das pessoas podem conduzir, de quantas maneiras distintas se podem distribuir as pessoas pelos dois carros?
A solução correcta é 205
(A solução apresentada na primeira edição do manual,210, está errada-Errar é humano);
A constituição do carro de 4 lugares fica automaticamente determinada assim que se ocupa o carro de 6 lugares!!!!
Observação: Em vez de pensar na distribuição no carro de 6 lugares, pode-se pensar na distribuição no carro de quatro lugares, ficando a do carro de seis automaticamente determinada
(A solução apresentada na primeira edição do manual,210, está errada-Errar é humano);
Há $\combin{10}{6}=210$ formas de distribuir as pessoas pelos $2$ carros.
No entanto, não podemos aceitar que as cinco pessoas que podem conduzir vão todas no carro de $6$ lugares, o que acontece em $5$ dos casos (nesse caso os cinco condutores estão no carro de $6$ lugares e a outra pessoa é um dos $5$ não condutores: $\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=1\times 5=5$).
Assim, o número de distribuições possíveis é \[ \combin{10}{6}-\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=\combin{10}{6}-\combin{5}{1}=210-5=205 \]
No entanto, não podemos aceitar que as cinco pessoas que podem conduzir vão todas no carro de $6$ lugares, o que acontece em $5$ dos casos (nesse caso os cinco condutores estão no carro de $6$ lugares e a outra pessoa é um dos $5$ não condutores: $\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=1\times 5=5$).
Assim, o número de distribuições possíveis é \[ \combin{10}{6}-\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=\combin{10}{6}-\combin{5}{1}=210-5=205 \]
- Podemos ter $4$ dos $5$ condutores e $2$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{4}\times\combin{5}{2}\]
- Podemos ter $3$ dos $5$ condutores e $3$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{3}\times\combin{5}{3}\]
- Podemos ter $2$ dos $5$ condutores e $4$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{2}\times\combin{5}{4}\]
- Podemos ter $1$ dos $5$ condutores e $5$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{1}\times\combin{5}{5}\]
A constituição do carro de 4 lugares fica automaticamente determinada assim que se ocupa o carro de 6 lugares!!!!
Observação: Em vez de pensar na distribuição no carro de 6 lugares, pode-se pensar na distribuição no carro de quatro lugares, ficando a do carro de seis automaticamente determinada
Aviso: Força bruta não é Matemática!
Numeremos as pessoas de 1 a 10, e sejam as pessoas numeradas de 1 a 5 as que conduzem.
As possibilidades são:
1--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-7;--Carro de quatro lugares:4-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
2--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:3-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
3--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:2-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
4--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-7;--Carro de quatro lugares:5-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
5--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:1-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
6--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:1-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
7--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-8;--Carro de quatro lugares:4-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
8--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:3-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
9--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:2-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
10--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-8;--Carro de quatro lugares:5-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
11--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
12--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
13--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
14--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:2-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
15--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-2-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
16--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
17--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
18--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
19--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:3-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
20--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-8;--Carro de quatro lugares:4-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
21--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-8;--Carro de quatro lugares:4-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
22--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
23--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
24--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-8;--Carro de quatro lugares:5-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
25--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:1-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
26--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:1-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
27--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
28--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
29--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:1-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
30--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
31--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
32--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:3-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
33--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:2-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
34--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-9;--Carro de quatro lugares:4-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
35--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-9;--Carro de quatro lugares:5-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
36--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:3-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
37--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:2-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
38--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-9;--Carro de quatro lugares:4-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
39--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-9;--Carro de quatro lugares:5-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
40--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
41--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
42--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
43--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
44--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
45--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
46--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
47--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
48--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
49--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
50--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
51--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
52--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-9;--Carro de quatro lugares:5-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
53--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
54--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-9;--Carro de quatro lugares:4-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
55--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
56--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
57--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
58--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
59--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
60--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
61--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
62--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
63--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
64--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
65--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-9;--Carro de quatro lugares:4-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
66--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
67--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
68--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
69--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
70--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
71--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
72--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
73--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-3-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
74--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:3-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
75--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
76--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
77--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-2-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
78--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
79--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:2-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
80--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:1-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
81--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:1-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
82--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
83--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
84--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-2-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
85--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
86--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:1-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
87--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
88--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
89--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
90--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
91--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
92--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
93--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
94--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
95--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
96--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
97--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
98--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
99--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
100--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
101--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
102--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:3-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
103--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:2-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
104--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-10;--Carro de quatro lugares:4-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
105--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-10;--Carro de quatro lugares:5-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
106--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
107--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
108--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
109--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
110--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
111--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
112--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
113--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
114--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
115--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
116--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
117--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-10;--Carro de quatro lugares:5-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
118--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
119--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-10;--Carro de quatro lugares:4-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
120--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
121--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
122--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
123--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
124--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
125--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
126--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-10;--Carro de quatro lugares:4-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
127--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
128--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
129--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
130--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
131--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
132--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:3-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
133--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
134--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
135--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:2-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
136--Carro de seis lugares:3-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
137--Carro de seis lugares:4-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
138--Carro de seis lugares:3-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
139--Carro de seis lugares:3-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
140--Carro de seis lugares:3-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
141--Carro de seis lugares:1-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
142--Carro de seis lugares:1-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
143--Carro de seis lugares:1-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
144--Carro de seis lugares:1-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
145--Carro de seis lugares:1-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
146--Carro de seis lugares:1-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
147--Carro de seis lugares:1-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
148--Carro de seis lugares:1-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
149--Carro de seis lugares:1-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
150--Carro de seis lugares:1-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
151--Carro de seis lugares:3-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
152--Carro de seis lugares:3-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
153--Carro de seis lugares:4-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
154--Carro de seis lugares:3-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
155--Carro de seis lugares:1-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
156--Carro de seis lugares:1-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
157--Carro de seis lugares:1-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
158--Carro de seis lugares:1-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
159--Carro de seis lugares:1-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
160--Carro de seis lugares:1-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
161--Carro de seis lugares:3-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
162--Carro de seis lugares:3-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
163--Carro de seis lugares:5-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-4
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
164--Carro de seis lugares:1-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
165--Carro de seis lugares:1-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
166--Carro de seis lugares:1-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
167--Carro de seis lugares:4-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
168--Carro de seis lugares:4-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
169--Carro de seis lugares:1-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
170--Carro de seis lugares:3-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
171--Carro de seis lugares:2-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
172--Carro de seis lugares:2-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
173--Carro de seis lugares:2-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
174--Carro de seis lugares:2-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
175--Carro de seis lugares:2-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
176--Carro de seis lugares:2-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
177--Carro de seis lugares:2-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
178--Carro de seis lugares:2-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
179--Carro de seis lugares:2-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
180--Carro de seis lugares:2-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
181--Carro de seis lugares:1-2-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
182--Carro de seis lugares:1-2-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
183--Carro de seis lugares:1-2-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
184--Carro de seis lugares:1-2-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
185--Carro de seis lugares:1-2-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
186--Carro de seis lugares:1-2-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
187--Carro de seis lugares:1-2-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
188--Carro de seis lugares:1-2-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
189--Carro de seis lugares:1-2-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
190--Carro de seis lugares:1-2-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
191--Carro de seis lugares:2-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
192--Carro de seis lugares:2-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
193--Carro de seis lugares:2-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
194--Carro de seis lugares:1-2-3-5-9-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
195--Carro de seis lugares:1-2-3-7-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
196--Carro de seis lugares:1-2-3-8-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
197--Carro de seis lugares:2-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
198--Carro de seis lugares:2-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
199--Carro de seis lugares:1-2-3-6-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
200--Carro de seis lugares:2-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
201--Carro de seis lugares:2-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
202--Carro de seis lugares:2-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
203--Carro de seis lugares:2-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
204--Carro de seis lugares:1-2-3-4-9-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
205--Carro de seis lugares:2-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
TOTAL=205
Numeremos as pessoas de 1 a 10, e sejam as pessoas numeradas de 1 a 5 as que conduzem.
As possibilidades são:
1--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-7;--Carro de quatro lugares:4-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
2--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:3-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
3--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:2-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
4--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-7;--Carro de quatro lugares:5-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
5--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:1-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
6--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:1-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
7--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-8;--Carro de quatro lugares:4-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
8--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:3-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
9--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:2-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
10--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-8;--Carro de quatro lugares:5-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
11--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
12--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
13--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
14--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:2-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
15--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-2-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
16--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
17--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
18--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
19--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:3-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
20--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-8;--Carro de quatro lugares:4-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
21--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-8;--Carro de quatro lugares:4-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
22--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
23--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
24--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-8;--Carro de quatro lugares:5-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
25--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:1-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
26--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:1-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
27--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
28--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
29--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:1-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
30--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
31--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
32--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:3-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
33--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:2-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
34--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-9;--Carro de quatro lugares:4-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
35--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-9;--Carro de quatro lugares:5-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
36--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:3-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
37--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:2-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
38--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-9;--Carro de quatro lugares:4-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
39--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-9;--Carro de quatro lugares:5-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
40--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
41--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
42--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
43--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
44--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
45--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
46--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
47--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
48--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
49--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
50--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
51--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
52--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-9;--Carro de quatro lugares:5-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
53--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
54--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-9;--Carro de quatro lugares:4-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
55--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
56--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
57--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
58--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
59--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
60--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
61--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
62--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
63--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
64--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
65--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-9;--Carro de quatro lugares:4-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
66--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
67--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
68--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
69--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
70--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
71--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
72--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
73--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-3-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
74--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:3-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
75--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
76--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
77--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-2-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
78--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
79--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:2-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
80--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:1-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
81--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:1-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
82--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
83--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
84--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-2-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
85--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
86--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:1-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
87--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
88--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
89--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
90--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
91--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
92--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
93--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
94--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
95--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
96--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
97--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
98--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
99--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
100--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
101--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
102--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:3-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
103--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:2-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
104--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-10;--Carro de quatro lugares:4-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
105--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-10;--Carro de quatro lugares:5-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
106--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
107--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
108--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
109--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
110--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
111--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
112--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
113--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
114--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
115--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
116--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
117--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-10;--Carro de quatro lugares:5-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
118--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
119--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-10;--Carro de quatro lugares:4-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
120--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
121--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
122--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
123--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
124--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
125--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
126--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-10;--Carro de quatro lugares:4-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
127--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
128--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
129--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
130--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
131--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
132--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:3-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
133--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
134--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
135--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:2-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
136--Carro de seis lugares:3-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
137--Carro de seis lugares:4-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
138--Carro de seis lugares:3-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
139--Carro de seis lugares:3-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
140--Carro de seis lugares:3-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
141--Carro de seis lugares:1-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
142--Carro de seis lugares:1-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
143--Carro de seis lugares:1-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
144--Carro de seis lugares:1-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
145--Carro de seis lugares:1-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
146--Carro de seis lugares:1-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
147--Carro de seis lugares:1-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
148--Carro de seis lugares:1-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
149--Carro de seis lugares:1-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
150--Carro de seis lugares:1-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
151--Carro de seis lugares:3-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
152--Carro de seis lugares:3-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
153--Carro de seis lugares:4-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
154--Carro de seis lugares:3-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
155--Carro de seis lugares:1-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
156--Carro de seis lugares:1-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
157--Carro de seis lugares:1-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
158--Carro de seis lugares:1-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
159--Carro de seis lugares:1-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
160--Carro de seis lugares:1-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
161--Carro de seis lugares:3-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
162--Carro de seis lugares:3-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
163--Carro de seis lugares:5-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-4
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
164--Carro de seis lugares:1-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
165--Carro de seis lugares:1-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
166--Carro de seis lugares:1-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
167--Carro de seis lugares:4-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
168--Carro de seis lugares:4-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
169--Carro de seis lugares:1-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
170--Carro de seis lugares:3-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
171--Carro de seis lugares:2-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
172--Carro de seis lugares:2-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
173--Carro de seis lugares:2-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
174--Carro de seis lugares:2-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
175--Carro de seis lugares:2-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
176--Carro de seis lugares:2-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
177--Carro de seis lugares:2-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
178--Carro de seis lugares:2-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
179--Carro de seis lugares:2-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
180--Carro de seis lugares:2-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
181--Carro de seis lugares:1-2-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
182--Carro de seis lugares:1-2-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
183--Carro de seis lugares:1-2-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
184--Carro de seis lugares:1-2-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
185--Carro de seis lugares:1-2-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
186--Carro de seis lugares:1-2-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
187--Carro de seis lugares:1-2-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
188--Carro de seis lugares:1-2-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
189--Carro de seis lugares:1-2-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
190--Carro de seis lugares:1-2-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
191--Carro de seis lugares:2-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
192--Carro de seis lugares:2-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
193--Carro de seis lugares:2-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
194--Carro de seis lugares:1-2-3-5-9-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
195--Carro de seis lugares:1-2-3-7-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
196--Carro de seis lugares:1-2-3-8-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
197--Carro de seis lugares:2-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
198--Carro de seis lugares:2-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
199--Carro de seis lugares:1-2-3-6-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
200--Carro de seis lugares:2-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
201--Carro de seis lugares:2-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
202--Carro de seis lugares:2-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
203--Carro de seis lugares:2-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
204--Carro de seis lugares:1-2-3-4-9-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
205--Carro de seis lugares:2-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
TOTAL=205
sexta-feira, 28 de julho de 2017
eθ i=cos θ + i sen θ
O novo cis
Uma das novidade do 'novo' programa de Matemática A,a ser introduzido no ano lectivo 2017/2018, é que em vez de escrever
cis θ = cos θ + i sen θ
define-se eθ i = cos θ + i sen θ
No secundário, eu não sou o maior fã desta 'nova' definição, porque (a menos que me tenha escapado algo) no secundário, não é justificado porque é que se usa justamente o e como base desta exponencial.
Portanto, se eu não quiser que os meus explicandos simplesmente levem com a fórmula por 'imposição' (porque afinal de contas, estamos a redefinir/generalizar a exponencial de base e, e há sempre alguém curioso... ) uma hipótese é tentar arranjar uma "dedução" que sugira aos alunos porque se define assim e não de outra forma.
Tentando evitar séries de Maclaurin (só porque quero tentar introduzir o mínimo possível de 'matéria nova' fora do programa aos alunos), pensei em duas (agora três...) deduções possíveis da fórmula, ambas da minha autoria.
Uma já partilhei na net no passado, no blog CarlosPaulices no século XXI, e outra, que recorre ao conceito de "osciladores harmónicos" também introduzido no novo programa de Matemática A, foi partilhada hoje no meu blog Zona Exacta.
Esta segunda tem alguns problemas ... tem muitos malabarismos para que eu possa apresentar a um aluno médio do ensino secundário, e na verdade não se prova que as fórmulas da 'dedução' são as soluções gerais daquelas equações, isto é, que dão todas as soluções possíveis!...
Nesta fase, parece-me apenas ser possível e aceitável, verificar que são soluções.
Com sorte, pode ser que ainda consiga trabalhar esta 'dedução' por forma a se apresentar menos agressiva ao aluno médio deste novo ensino secundário.
Enquanto escrevia este texto, ocorreu-me uma forma mais simples de fazer a 'dedução': pode ver no mesmo blog Zona Exacta, a nova dedução.
Sem, para já, tocar em séries, aceito qualquer sugestão com que o leitor possa contribuir... sem urgências.
Para já, se algum aluno perguntar... apresento a terceira! Se entretanto aparecer outra(s), deixo um link abaixo, na zona "PS".
PS:
define-se
No secundário, eu não sou o maior fã desta 'nova' definição, porque (a menos que me tenha escapado algo) no secundário, não é justificado porque é que se usa justamente o e como base desta exponencial.
Portanto, se eu não quiser que os meus explicandos simplesmente levem com a fórmula por 'imposição' (porque afinal de contas, estamos a redefinir/generalizar a exponencial de base e, e há sempre alguém curioso... ) uma hipótese é tentar arranjar uma "dedução" que sugira aos alunos porque se define assim e não de outra forma.
Tentando evitar séries de Maclaurin (só porque quero tentar introduzir o mínimo possível de 'matéria nova' fora do programa aos alunos), pensei em duas (agora três...) deduções possíveis da fórmula, ambas da minha autoria.
Uma já partilhei na net no passado, no blog CarlosPaulices no século XXI, e outra, que recorre ao conceito de "osciladores harmónicos" também introduzido no novo programa de Matemática A, foi partilhada hoje no meu blog Zona Exacta.
Esta segunda tem alguns problemas ... tem muitos malabarismos para que eu possa apresentar a um aluno médio do ensino secundário, e na verdade não se prova que as fórmulas da 'dedução' são as soluções gerais daquelas equações, isto é, que dão todas as soluções possíveis!...
Nesta fase, parece-me apenas ser possível e aceitável, verificar que são soluções.
Com sorte, pode ser que ainda consiga trabalhar esta 'dedução' por forma a se apresentar menos agressiva ao aluno médio deste novo ensino secundário.
Enquanto escrevia este texto, ocorreu-me uma forma mais simples de fazer a 'dedução': pode ver no mesmo blog Zona Exacta, a nova dedução.
Sem, para já, tocar em séries, aceito qualquer sugestão com que o leitor possa contribuir... sem urgências.
Para já, se algum aluno perguntar... apresento a terceira! Se entretanto aparecer outra(s), deixo um link abaixo, na zona "PS".
PS:
- Já mais do que uma vez deduzi a fórmula dos polinómios e séries de Maclaurin, depois obtive as fórmulas para a exponencial de base e, para o cosseno e para o seno, e deduzi a fómula da exponencial complexa, a alunos noutros contextos. Desta vez procuro mesmo algo diferente.
- CarlosPaulices no século XXI:De uma equação diferencial até à relação de Euler.
- Zona Exacta:Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão I).
- Zona Exacta:Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão II)
Esta é a tal terceira opção que me ocorreu enquanto escrevia este texto. - 04/09/2017 : uma 4ª dedução
segunda-feira, 29 de maio de 2017
Complex0 : Casio fx-9860G & fx-CG20
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PS:
- Para fazer download dos programas, dar três cliques sobre a animação correspondente à sua calculadora, e depois um sobre o ícone que aparecer
- Sugiro a quem fez download antes de 02/06/2017 que actualize para a versão actual. (Na verdade basta actualizar apenas o programa ++ANGULO)
- Instalação de ficheiros .g3m em calculadoras Casio CG*0
quarta-feira, 12 de outubro de 2016
segunda-feira, 10 de outubro de 2016
Blog App :: Simulador para um problema com um dado octaédrico
O problema que se segue foi encontrado numa Mini-ficha do professor José Carlos da Silva Pereira (Recursos para Matemática, MathSucess).
Considere um dado octaédrico, equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 8 e a seguinte experiência aleatória:
- Lança-se o dado duas vezes e caso os números das faces que ficam voltadas para cima sejam distintos, não se efectuam mais lançamentos;
- lança-se o dado duas vezes e caso os números das faces que ficam voltadas para cima sejam iguais, efectua-se mais um lançamento.
- Qual é a probabilidade da soma dos números das faces que ficam voltadas para cima após os lançamentos ser 11?
- Depois de realizada a experiência, constatou-se que a soma dos números das faces que ficaram voltadas para cima foi 8. Qual é a probabilidade de terem sido efectuados apenas dois lançamentos?
quarta-feira, 28 de setembro de 2016
Blog App :: Simulador para o problema de Monty Hall
O problema de Monty Hall, é um problema matemático que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970.
O jogo consistia no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas estava um carro (prémio bom) e que as outras têm cabras (prémio considerado mau).
Este simulador calcula experimentalmente a probabilidade de o concorrente ganhar o carro mudando de porta.
O utilizador pode escolher quantas simulações devem correr e em que porta se deve esconder o carro, pressionando repetidamente o botão "Reorganizar portas" até o carro se encontrar no sítio desejado.
A probabilidade é aproximadamente a frequência relativa do número de vitórias (vitória="sair o carro ao concorrente").
-Será que a probabilidade é a esperada?
-Repita as vezes que desejar
PS: O simulador foi inicialmente colocado no meu blog pessoal: CarlosPaulices no século XXI
O jogo consistia no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas estava um carro (prémio bom) e que as outras têm cabras (prémio considerado mau).
- Na 1ª etapa o concorrente escolhia uma porta sem abrir ;
- De seguida Monty abria uma das duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontrava ali;
- Agora com apenas duas portas para escolher, sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tinha de decidir se mantinha a porta escolhida ou se mudava para a outra porta que ainda estava fechada.
Este simulador calcula experimentalmente a probabilidade de o concorrente ganhar o carro mudando de porta.
O utilizador pode escolher quantas simulações devem correr e em que porta se deve esconder o carro, pressionando repetidamente o botão "Reorganizar portas" até o carro se encontrar no sítio desejado.
A probabilidade é aproximadamente a frequência relativa do número de vitórias (vitória="sair o carro ao concorrente").
-Será que a probabilidade é a esperada?
-Repita as vezes que desejar
PS: O simulador foi inicialmente colocado no meu blog pessoal: CarlosPaulices no século XXI
segunda-feira, 1 de agosto de 2016
2ª fase 2015/2016
| Ano | Enunciado | Critérios | Resolução |
|---|---|---|---|
| 12o Matemática A | Critérios (VT) | Raiz Editora (prof. José Carlos Pereira) | |
| 11o Matemática B |
Critérios (VT) | ||
| 9o Matemática |
Critérios (VT) |
terça-feira, 3 de maio de 2016
sexta-feira, 24 de julho de 2015
2ª Fase 2014/2015
| Ano | Enunciado | Critérios | Proposta de resolução |
|---|---|---|---|
| 12o Matemática A | Critérios (VT) | ||
| 11o Matemática B |
Critérios (VT) | ||
| 9o Matemática |
Critérios (VT) | ||
| 6o Matemática | Critérios (VT) |
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