Explicações de Matemática
por Carlos Paulo A. Freitas
sexta-feira, 22 de dezembro de 2017
segunda-feira, 18 de dezembro de 2017
Calendário do Mês fx-9860GII
Os interessados devem dar três cliques na animação.
quinta-feira, 23 de novembro de 2017
O modo de exame nas calculadoras (I)
A "nova" moda em tecnologia considerada educativa é o "modo exame".
Nas calculadoras Casio: Modo de exame.pdf
Nas calculadoras Texas Instruments: Modo de exame
O que é que eu penso dele? ... Em breve publico.
quarta-feira, 8 de novembro de 2017
Entre a estupidez e o analfabetismo, no século XXI
Porque raios continuamos a insistir em usar tabelas?
Faz sentido obrigar um aluno a usar tabelas trigonométricas, tendo uma calculadora com as teclas sin , cos e tan ?
Certamente, responderá que não!
Então, e se a calculadora souber calcular $P(Z\leq-1)$ sendo $Z$ variável aleatória com distribuição gaussiana standard?
E se "souber" até desenhar o gráfico?
Vou mostrar screenshots de uma TI-83 Plus, uma calculadora lançada pela Texas Instruments em 1999.
Considerada antiquada ou ultrapassada por alguns
Pressionando Shift - Distr, somos levados ao menu distribuições, onde existem várias opções. Se formos ao submenu Draw podemos escolher a função ShadeNorm, cuja sintaxe é ShadeNorm(limite inferior, limite superior, média,desvio padrão)
Tendo em conta a precisão da TI-83plus (e já agora da maioria das Calculadoras Casio), nesta distribuição, o -22 pode ser tratado como o $-\infty$
TI-83 plus... E se for uma TI-82 original, lançada em 1993?
A TI-82 não tem a distribuição normal, mas é programável. E a distribuição normal até se programa relativamente bem (* já a programei no passado...*)
Será justo não permitir ao aluno que tem a TI-83Plus o uso da calculadora porque tem a distribuição normal?
Será justo "torturar" o aluno com a TI-82 por ter uma máquina antiga?
Vamos obrigar ambos a comprar uma científica e a usar TABELAS?
Sejamos sérios!
Mas, eu conheço a sociedade e o país em que vivemos.
Como tenho tido explicandos de todo o país, tenho-os preparado para todo o tipo de cenários.
Todos levam uma cópia de um programa da Normal que dá pelo nome de G-Normal.
Nos últimos 22 anos tenho criado versões para vários modelos de calculadoras, principalmente Casio e Texas Instruments (mas até máquinas HP já programei) .
Alguns alunos são ensinados a usar as tabelas porque é aquilo a que os professores (estupidamente) os obrigam, mas enquanto estudam ou treinam, usam os meus programas para confirmar resultados.
Portanto, se lhes apagarem os programas, ou como uma vez me constou, com medo de um processo judicial, os obriguem a apagar os programas, os alunos sabem desenrascar-se sem eles!
Note-se que não está em questão se o aluno em questão conhece ou não as propriedades da distribuição, porque até conhece!
Já agora, mudando de marca, em qualquer calculadora Casio actual em modo linear, (ou antiga, em "modo normal", ou fx-9750G ) basta executar o comando Graph Y=P(-1).
O comando Graph Y= está no menu Sketch e o "P" está em OPTN Prob
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E as máquinas nem estão limitadas à Normal(0,1) (ou gaussiana Standard). Desde que estejam dentro dos intervalos que constam no manual, qualquer média e qualquer desvio padrão são permitidos.
No caso de instituições de ensino superior eu faço questão de informar os alunos de quais as que obrigam os alunos a viver no século XIX... ou mesmo XVIII, e quem são os professores que o fazem.
A tentação de escrever uma "lista negra" neste blog já foi menor!
PS:
- Nas várias máquinas referidas neste texto há outras formas de aceder à distribuição normal. Apenas foi referida uma que não só funciona nos modelos referidos, como em vários modelos semelhantes.
- Consultando os manuais completos das calculadoras, que hoje em dia são distribuídos em PDF em CDs ou nos sites das marcas, vê-se perfeitamente que praticamente todas elas têm várias formas de aceder às várias distribuições
- Havendo máquinas com distribuições e máquinas sem distribuições, eu de vez em quando passo programas para os meus explicandos, por forma a equilibrar as coisas!*
- *Neste momento, não existem programas de Probabilidades e Estatística neste blog!
Não é que eles não existam (mas com sorte ainda deve encontrar fotos ou animações). Enquanto não se puser um ponto final nesta estupidez, não quero que os alunos arranjem problemas por usar programas meus! - Proibir o uso de programas gratuitos e legítimos para calculadora, mas impor software proprietário como o SPSS não vai deixar ninguém bem visto por mim
- Se é docente e não foi estúpido com nenhum aluno a utilizar programas alegadamente meus posso esclarecer todas as dúvidas sobre esses programas. Se foi estúpido, lamento! Comece por pedir desculpa ao aluno e depois de eu receber confirmação do aluno, decido se devo responder ou não.
- Se é docente, permitiu o uso de calculadora gráfica programável, e exigiu que a calculadora não tenha programas, você é estúpido! Considera-se insultado? Ainda bem! Adeus e não volte!
terça-feira, 17 de outubro de 2017
Do plano mediador ao outro vértice do segmento... sem produto escalar.
(Proposto pelo professor Roberto Oliveira,facebook)
Problema
Resolver com conhecimentos adquiridos até ao actual 10º ano (portanto, nada de produto escalar, perpendicularidade...)
Resolver com conhecimentos adquiridos até ao actual 10º ano (portanto, nada de produto escalar, perpendicularidade...)
Num referencial Oxyz, $2x+y+5z=10$ é a equação do plano mediador de $[OP]$. Descobrir $P(a,b,c)$
\[P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Obs: Nenhuma das resoluções até agora apresentadas, é exigível a um aluno de 10º
(Proposta pelo professor Elias Rodrigues)
Considerem-se no plano mediador, por exemplo, os pontos $A=(5,0,0);B=(0,10,0);C=(0,0,2)$.
Atendendo à definição de plano mediador temos: \[d(P,A)=d(P,O)\]\[d(P,B)=d(P,O)\]\[d(P,C)=d(P,O)\] Das duas primeiras equações tira-se $a=2b$ e das duas últimas $c=5b$.
Portanto \[P= (2b,b,5b)\] Como o ponto $\left(b,\displaystyle\frac{b}{2},\displaystyle\frac{5b}{2}\right)$ pertence ao plano mediador, substitui-se na equação do plano e encontra-se o valor \[b=\frac{2}{3}\] Que nos conduz à solução apresentada.
Considerem-se no plano mediador, por exemplo, os pontos $A=(5,0,0);B=(0,10,0);C=(0,0,2)$.
Atendendo à definição de plano mediador temos: \[d(P,A)=d(P,O)\]\[d(P,B)=d(P,O)\]\[d(P,C)=d(P,O)\] Das duas primeiras equações tira-se $a=2b$ e das duas últimas $c=5b$.
Portanto \[P= (2b,b,5b)\] Como o ponto $\left(b,\displaystyle\frac{b}{2},\displaystyle\frac{5b}{2}\right)$ pertence ao plano mediador, substitui-se na equação do plano e encontra-se o valor \[b=\frac{2}{3}\] Que nos conduz à solução apresentada.
(Proposta por Carlos Paulo A. Freitas)
Se uma equação do plano mediador é \[2x+y+5z-10=0\] então para todo o $k$ real não nulo \[ {2kx + ky + 5kz - 10k = 0} \] também é equação do plano mediador.
Adicionando $x^2+y^2+z^2$ a ambos os membros da equação temos \[ x^2 + y^2 + z^2 +2kx + ky + 5kz - 10k = x^2 + y^2 + z^2 \] que se consegue reescrever como \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - k^2 - \frac{{k^2 }}{4} - \frac{{25k^2 }}{4}=x^2 + y^2 + z^2 \] e simplificar para \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - \frac{{15k^2 }}{2}=x^2 + y^2 + z^2 \] Para isto ser a equação de um plano mediador temos de ter \[ - 10k - \frac{{15k^2 }}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 5k\left( {2 + \frac{{3k}}{2}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow k = 0 \vee k = - \frac{4}{3} \] Mas a solução $k=0$ tem de ser descartada. ($k=0$ dá-nos todo o espaço tridimensional e não o plano mediador)
Assim sendo temos \[k=-\frac{4}{3}\].
E então a equação reescreve-se: \[ \left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2 + \left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2 + \left( {z - \frac{{10}}{3}} \right)^2 {\rm = }x^{\rm 2} + y^2 + z^2 \] Que nos indica que \[P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Se uma equação do plano mediador é \[2x+y+5z-10=0\] então para todo o $k$ real não nulo \[ {2kx + ky + 5kz - 10k = 0} \] também é equação do plano mediador.
Adicionando $x^2+y^2+z^2$ a ambos os membros da equação temos \[ x^2 + y^2 + z^2 +2kx + ky + 5kz - 10k = x^2 + y^2 + z^2 \] que se consegue reescrever como \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - k^2 - \frac{{k^2 }}{4} - \frac{{25k^2 }}{4}=x^2 + y^2 + z^2 \] e simplificar para \[ \left( {x + k} \right)^2 + \left( {y + \frac{k}{2}} \right)^2 + \left( {z + \frac{{5k}}{2}} \right)^2 - 10k - \frac{{15k^2 }}{2}=x^2 + y^2 + z^2 \] Para isto ser a equação de um plano mediador temos de ter \[ - 10k - \frac{{15k^2 }}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 5k\left( {2 + \frac{{3k}}{2}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow k = 0 \vee k = - \frac{4}{3} \] Mas a solução $k=0$ tem de ser descartada. ($k=0$ dá-nos todo o espaço tridimensional e não o plano mediador)
Assim sendo temos \[k=-\frac{4}{3}\].
E então a equação reescreve-se: \[ \left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2 + \left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2 + \left( {z - \frac{{10}}{3}} \right)^2 {\rm = }x^{\rm 2} + y^2 + z^2 \] Que nos indica que \[P=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
(Como é obscena só podia ser por Carlos Paulo A. Freitas)
Considere-se a superfície esférica de centro $O$ e tangente ao plano. \[x^2+y^2+z^2=r^2\] O ponto de tangência $T$ é a única solução do sistema \[ \left\{ {\begin{array}{c} {x^2 + y^2 + z^2 = r^2 } \\ {2x + y + 5z = 10} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x^2 + 4x^2 + 20xz - 40x + 25z^2 - 100z + 100 + z^2 = r^2 } \\ {y = 10 - 2x - 5z} \end{array}} \right. \] A equação de cima do sistema é equivalente a \[ {5\left( {x^2 + 4x\left( {z - 2} \right)} \right) + 26z^2 - 100z = r^2 - 100} \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 26z^2 - 100z - 20z^2 + 80z - 80 = r^2 - 100 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6z^2 - 20z = r^2 - 20 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z^2 - \frac{{10}}{3}z + \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 } \right) = r^2 - 20 + 6 \times \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z - \frac{5}{3}} \right)^2 = r^2 - \frac{{10}}{3} \] Como membro esquerdo da equação temos uma soma de quantidades não negativas, então, o segundo membro também é não negativo, ou seja, \[r^2 - \frac{{10}}{3}\geq0\] Como $r$ é o raio de uma superfície esférica, $r> 0$, logo. $r\geq\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$. Por outro lado, sabe-se que esta equação só deve ter uma solução em $x$ e $z$ (só há um ponto comum à superfície e ao plano:o ponto de tangência), logo, temos de ter que a soma do membro esquerdo é zero, e $r=\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$.
Então \[z=\frac{5}{3}\] E \[x=-2(z-2)=\frac{2}{3}\] Logo \[y=\frac{1}{3}\] Portanto \[P=O+2\vect{OT}=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Considere-se a superfície esférica de centro $O$ e tangente ao plano. \[x^2+y^2+z^2=r^2\] O ponto de tangência $T$ é a única solução do sistema \[ \left\{ {\begin{array}{c} {x^2 + y^2 + z^2 = r^2 } \\ {2x + y + 5z = 10} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x^2 + 4x^2 + 20xz - 40x + 25z^2 - 100z + 100 + z^2 = r^2 } \\ {y = 10 - 2x - 5z} \end{array}} \right. \] A equação de cima do sistema é equivalente a \[ {5\left( {x^2 + 4x\left( {z - 2} \right)} \right) + 26z^2 - 100z = r^2 - 100} \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 26z^2 - 100z - 20z^2 + 80z - 80 = r^2 - 100 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6z^2 - 20z = r^2 - 20 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z^2 - \frac{{10}}{3}z + \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 } \right) = r^2 - 20 + 6 \times \left( {\frac{5}{3}} \right)^2 \] \[ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2\left( {z - 2} \right)} \right)^2 + 6\left( {z - \frac{5}{3}} \right)^2 = r^2 - \frac{{10}}{3} \] Como membro esquerdo da equação temos uma soma de quantidades não negativas, então, o segundo membro também é não negativo, ou seja, \[r^2 - \frac{{10}}{3}\geq0\] Como $r$ é o raio de uma superfície esférica, $r> 0$, logo. $r\geq\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$. Por outro lado, sabe-se que esta equação só deve ter uma solução em $x$ e $z$ (só há um ponto comum à superfície e ao plano:o ponto de tangência), logo, temos de ter que a soma do membro esquerdo é zero, e $r=\displaystyle\sqrt{\frac{10}{3}}$.
Então \[z=\frac{5}{3}\] E \[x=-2(z-2)=\frac{2}{3}\] Logo \[y=\frac{1}{3}\] Portanto \[P=O+2\vect{OT}=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{10}{3}\right)\]
Obs: Nenhuma das resoluções até agora apresentadas, é exigível a um aluno de 10º
domingo, 8 de outubro de 2017
Os carros ainda precisam de condutores.
(fonte: Livro Expoente 12, edição de 2017, Volume 1, página 57, exercício 27)
Problema
Dez pessoas vão viajar em dois carros, um com seis lugares e o outro com quatro lugares.
Sabendo que apenas cinco das pessoas podem conduzir, de quantas maneiras distintas se podem distribuir as pessoas pelos dois carros?
A solução correcta é 205
(A solução apresentada na primeira edição do manual,210, está errada-Errar é humano);
A constituição do carro de 4 lugares fica automaticamente determinada assim que se ocupa o carro de 6 lugares!!!!
Observação: Em vez de pensar na distribuição no carro de 6 lugares, pode-se pensar na distribuição no carro de quatro lugares, ficando a do carro de seis automaticamente determinada
(A solução apresentada na primeira edição do manual,210, está errada-Errar é humano);
Há $\combin{10}{6}=210$ formas de distribuir as pessoas pelos $2$ carros.
No entanto, não podemos aceitar que as cinco pessoas que podem conduzir vão todas no carro de $6$ lugares, o que acontece em $5$ dos casos (nesse caso os cinco condutores estão no carro de $6$ lugares e a outra pessoa é um dos $5$ não condutores: $\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=1\times 5=5$).
Assim, o número de distribuições possíveis é \[ \combin{10}{6}-\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=\combin{10}{6}-\combin{5}{1}=210-5=205 \]
No entanto, não podemos aceitar que as cinco pessoas que podem conduzir vão todas no carro de $6$ lugares, o que acontece em $5$ dos casos (nesse caso os cinco condutores estão no carro de $6$ lugares e a outra pessoa é um dos $5$ não condutores: $\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=1\times 5=5$).
Assim, o número de distribuições possíveis é \[ \combin{10}{6}-\combin{5}{5}\times\combin{5}{1}=\combin{10}{6}-\combin{5}{1}=210-5=205 \]
- Podemos ter $4$ dos $5$ condutores e $2$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{4}\times\combin{5}{2}\]
- Podemos ter $3$ dos $5$ condutores e $3$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{3}\times\combin{5}{3}\]
- Podemos ter $2$ dos $5$ condutores e $4$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{2}\times\combin{5}{4}\]
- Podemos ter $1$ dos $5$ condutores e $5$ dos $5$ não condutores para no carro de seis lugares - número de casos: \[\combin{5}{1}\times\combin{5}{5}\]
A constituição do carro de 4 lugares fica automaticamente determinada assim que se ocupa o carro de 6 lugares!!!!
Observação: Em vez de pensar na distribuição no carro de 6 lugares, pode-se pensar na distribuição no carro de quatro lugares, ficando a do carro de seis automaticamente determinada
Aviso: Força bruta não é Matemática!
Numeremos as pessoas de 1 a 10, e sejam as pessoas numeradas de 1 a 5 as que conduzem.
As possibilidades são:
1--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-7;--Carro de quatro lugares:4-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
2--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:3-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
3--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:2-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
4--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-7;--Carro de quatro lugares:5-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
5--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:1-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
6--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:1-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
7--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-8;--Carro de quatro lugares:4-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
8--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:3-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
9--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:2-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
10--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-8;--Carro de quatro lugares:5-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
11--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
12--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
13--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
14--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:2-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
15--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-2-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
16--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
17--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
18--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
19--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:3-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
20--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-8;--Carro de quatro lugares:4-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
21--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-8;--Carro de quatro lugares:4-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
22--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
23--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
24--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-8;--Carro de quatro lugares:5-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
25--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:1-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
26--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:1-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
27--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
28--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
29--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:1-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
30--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
31--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
32--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:3-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
33--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:2-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
34--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-9;--Carro de quatro lugares:4-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
35--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-9;--Carro de quatro lugares:5-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
36--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:3-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
37--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:2-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
38--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-9;--Carro de quatro lugares:4-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
39--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-9;--Carro de quatro lugares:5-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
40--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
41--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
42--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
43--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
44--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
45--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
46--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
47--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
48--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
49--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
50--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
51--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
52--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-9;--Carro de quatro lugares:5-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
53--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
54--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-9;--Carro de quatro lugares:4-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
55--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
56--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
57--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
58--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
59--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
60--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
61--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
62--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
63--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
64--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
65--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-9;--Carro de quatro lugares:4-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
66--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
67--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
68--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
69--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
70--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
71--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
72--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
73--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-3-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
74--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:3-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
75--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
76--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
77--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-2-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
78--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
79--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:2-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
80--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:1-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
81--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:1-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
82--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
83--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
84--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-2-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
85--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
86--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:1-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
87--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
88--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
89--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
90--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
91--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
92--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
93--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
94--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
95--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
96--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
97--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
98--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
99--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
100--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
101--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
102--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:3-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
103--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:2-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
104--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-10;--Carro de quatro lugares:4-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
105--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-10;--Carro de quatro lugares:5-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
106--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
107--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
108--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
109--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
110--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
111--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
112--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
113--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
114--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
115--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
116--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
117--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-10;--Carro de quatro lugares:5-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
118--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
119--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-10;--Carro de quatro lugares:4-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
120--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
121--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
122--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
123--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
124--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
125--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
126--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-10;--Carro de quatro lugares:4-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
127--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
128--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
129--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
130--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
131--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
132--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:3-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
133--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
134--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
135--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:2-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
136--Carro de seis lugares:3-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
137--Carro de seis lugares:4-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
138--Carro de seis lugares:3-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
139--Carro de seis lugares:3-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
140--Carro de seis lugares:3-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
141--Carro de seis lugares:1-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
142--Carro de seis lugares:1-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
143--Carro de seis lugares:1-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
144--Carro de seis lugares:1-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
145--Carro de seis lugares:1-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
146--Carro de seis lugares:1-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
147--Carro de seis lugares:1-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
148--Carro de seis lugares:1-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
149--Carro de seis lugares:1-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
150--Carro de seis lugares:1-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
151--Carro de seis lugares:3-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
152--Carro de seis lugares:3-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
153--Carro de seis lugares:4-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
154--Carro de seis lugares:3-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
155--Carro de seis lugares:1-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
156--Carro de seis lugares:1-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
157--Carro de seis lugares:1-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
158--Carro de seis lugares:1-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
159--Carro de seis lugares:1-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
160--Carro de seis lugares:1-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
161--Carro de seis lugares:3-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
162--Carro de seis lugares:3-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
163--Carro de seis lugares:5-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-4
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
164--Carro de seis lugares:1-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
165--Carro de seis lugares:1-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
166--Carro de seis lugares:1-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
167--Carro de seis lugares:4-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
168--Carro de seis lugares:4-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
169--Carro de seis lugares:1-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
170--Carro de seis lugares:3-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
171--Carro de seis lugares:2-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
172--Carro de seis lugares:2-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
173--Carro de seis lugares:2-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
174--Carro de seis lugares:2-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
175--Carro de seis lugares:2-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
176--Carro de seis lugares:2-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
177--Carro de seis lugares:2-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
178--Carro de seis lugares:2-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
179--Carro de seis lugares:2-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
180--Carro de seis lugares:2-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
181--Carro de seis lugares:1-2-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
182--Carro de seis lugares:1-2-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
183--Carro de seis lugares:1-2-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
184--Carro de seis lugares:1-2-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
185--Carro de seis lugares:1-2-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
186--Carro de seis lugares:1-2-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
187--Carro de seis lugares:1-2-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
188--Carro de seis lugares:1-2-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
189--Carro de seis lugares:1-2-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
190--Carro de seis lugares:1-2-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
191--Carro de seis lugares:2-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
192--Carro de seis lugares:2-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
193--Carro de seis lugares:2-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
194--Carro de seis lugares:1-2-3-5-9-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
195--Carro de seis lugares:1-2-3-7-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
196--Carro de seis lugares:1-2-3-8-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
197--Carro de seis lugares:2-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
198--Carro de seis lugares:2-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
199--Carro de seis lugares:1-2-3-6-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
200--Carro de seis lugares:2-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
201--Carro de seis lugares:2-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
202--Carro de seis lugares:2-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
203--Carro de seis lugares:2-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
204--Carro de seis lugares:1-2-3-4-9-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
205--Carro de seis lugares:2-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
TOTAL=205
Numeremos as pessoas de 1 a 10, e sejam as pessoas numeradas de 1 a 5 as que conduzem.
As possibilidades são:
1--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-7;--Carro de quatro lugares:4-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
2--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:3-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
3--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:2-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
4--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-7;--Carro de quatro lugares:5-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
5--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-7;--Carro de quatro lugares:1-8-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
6--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:1-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
7--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-8;--Carro de quatro lugares:4-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
8--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:3-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
9--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-8;--Carro de quatro lugares:2-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
10--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-8;--Carro de quatro lugares:5-7-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
11--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
12--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
13--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:2-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
14--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:2-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
15--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-2-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
16--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-3-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
17--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
18--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:3-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
19--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:3-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
20--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-8;--Carro de quatro lugares:4-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
21--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-8;--Carro de quatro lugares:4-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
22--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-4-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
23--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-8;--Carro de quatro lugares:1-5-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
24--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-8;--Carro de quatro lugares:5-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
25--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-8;--Carro de quatro lugares:1-6-9-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
26--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:1-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
27--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
28--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
29--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:1-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
30--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
31--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
32--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:3-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
33--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-9;--Carro de quatro lugares:2-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
34--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-9;--Carro de quatro lugares:4-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
35--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-9;--Carro de quatro lugares:5-6-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
36--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:3-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
37--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-9;--Carro de quatro lugares:2-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
38--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-9;--Carro de quatro lugares:4-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
39--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-9;--Carro de quatro lugares:5-6-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
40--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
41--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
42--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
43--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
44--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
45--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-6-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
46--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
47--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
48--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
49--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
50--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
51--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
52--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-9;--Carro de quatro lugares:5-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
53--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
54--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-9;--Carro de quatro lugares:4-5-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
55--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
56--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
57--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-9;--Carro de quatro lugares:4-5-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
58--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
59--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
60--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-5-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
61--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
62--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
63--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
64--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
65--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-9;--Carro de quatro lugares:4-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
66--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
67--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:3-4-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
68--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
69--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:3-4-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
70--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-4-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
71--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
72--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
73--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-3-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
74--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:3-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
75--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:2-3-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
76--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:2-3-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
77--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-9;--Carro de quatro lugares:1-2-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
78--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-9;--Carro de quatro lugares:1-2-7-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
79--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:2-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
80--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-9;--Carro de quatro lugares:1-7-8-10
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
81--Carro de seis lugares:2-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:1-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
82--Carro de seis lugares:2-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
83--Carro de seis lugares:2-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
84--Carro de seis lugares:3-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-2-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
85--Carro de seis lugares:2-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:1-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
86--Carro de seis lugares:2-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:1-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
87--Carro de seis lugares:2-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
88--Carro de seis lugares:2-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
89--Carro de seis lugares:3-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
90--Carro de seis lugares:2-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
91--Carro de seis lugares:2-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
92--Carro de seis lugares:3-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
93--Carro de seis lugares:4-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
94--Carro de seis lugares:3-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
95--Carro de seis lugares:3-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
96--Carro de seis lugares:2-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
97--Carro de seis lugares:2-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
98--Carro de seis lugares:2-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
99--Carro de seis lugares:2-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
100--Carro de seis lugares:2-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
101--Carro de seis lugares:2-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
102--Carro de seis lugares:1-2-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:3-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
103--Carro de seis lugares:1-3-4-5-7-10;--Carro de quatro lugares:2-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
104--Carro de seis lugares:1-2-3-5-7-10;--Carro de quatro lugares:4-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
105--Carro de seis lugares:1-2-3-4-7-10;--Carro de quatro lugares:5-6-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
106--Carro de seis lugares:1-2-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
107--Carro de seis lugares:1-3-4-5-8-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
108--Carro de seis lugares:1-2-3-5-8-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
109--Carro de seis lugares:1-2-3-4-8-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
110--Carro de seis lugares:1-4-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
111--Carro de seis lugares:1-3-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
112--Carro de seis lugares:1-3-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
113--Carro de seis lugares:1-2-5-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
114--Carro de seis lugares:1-2-4-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
115--Carro de seis lugares:1-2-3-7-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
116--Carro de seis lugares:1-3-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
117--Carro de seis lugares:1-2-3-4-6-10;--Carro de quatro lugares:5-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
118--Carro de seis lugares:1-2-4-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
119--Carro de seis lugares:1-2-3-6-7-10;--Carro de quatro lugares:4-5-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
120--Carro de seis lugares:1-3-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
121--Carro de seis lugares:1-2-4-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
122--Carro de seis lugares:1-2-3-6-8-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
123--Carro de seis lugares:1-4-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
124--Carro de seis lugares:1-3-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
125--Carro de seis lugares:1-2-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
126--Carro de seis lugares:1-2-3-5-6-10;--Carro de quatro lugares:4-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
127--Carro de seis lugares:1-3-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
128--Carro de seis lugares:1-2-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:3-4-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
129--Carro de seis lugares:1-3-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
130--Carro de seis lugares:1-2-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
131--Carro de seis lugares:1-5-6-7-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
132--Carro de seis lugares:1-2-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:3-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
133--Carro de seis lugares:1-4-5-6-7-10;--Carro de quatro lugares:2-3-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
134--Carro de seis lugares:1-4-5-6-8-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
135--Carro de seis lugares:1-3-4-5-6-10;--Carro de quatro lugares:2-7-8-9
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
136--Carro de seis lugares:3-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
137--Carro de seis lugares:4-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
138--Carro de seis lugares:3-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
139--Carro de seis lugares:3-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
140--Carro de seis lugares:3-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
141--Carro de seis lugares:1-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
142--Carro de seis lugares:1-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:2-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
143--Carro de seis lugares:1-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
144--Carro de seis lugares:1-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
145--Carro de seis lugares:1-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
146--Carro de seis lugares:1-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
147--Carro de seis lugares:1-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
148--Carro de seis lugares:1-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
149--Carro de seis lugares:1-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
150--Carro de seis lugares:1-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
151--Carro de seis lugares:3-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
152--Carro de seis lugares:3-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
153--Carro de seis lugares:4-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
154--Carro de seis lugares:3-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
155--Carro de seis lugares:1-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
156--Carro de seis lugares:1-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
157--Carro de seis lugares:1-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
158--Carro de seis lugares:1-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
159--Carro de seis lugares:1-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
160--Carro de seis lugares:1-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
161--Carro de seis lugares:3-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
162--Carro de seis lugares:3-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
163--Carro de seis lugares:5-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-4
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
164--Carro de seis lugares:1-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
165--Carro de seis lugares:1-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
166--Carro de seis lugares:1-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
167--Carro de seis lugares:4-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
168--Carro de seis lugares:4-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-3-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
169--Carro de seis lugares:1-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:2-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
170--Carro de seis lugares:3-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-2-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
171--Carro de seis lugares:2-4-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
172--Carro de seis lugares:2-5-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
173--Carro de seis lugares:2-4-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
174--Carro de seis lugares:2-4-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
175--Carro de seis lugares:2-5-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
176--Carro de seis lugares:2-4-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
177--Carro de seis lugares:2-4-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
178--Carro de seis lugares:2-6-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-5
Total de condutores no carro de 4 lugares=4
179--Carro de seis lugares:2-5-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-4-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
180--Carro de seis lugares:2-4-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-3-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
181--Carro de seis lugares:1-2-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:3-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
182--Carro de seis lugares:1-2-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
183--Carro de seis lugares:1-2-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
184--Carro de seis lugares:1-2-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
185--Carro de seis lugares:1-2-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
186--Carro de seis lugares:1-2-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
187--Carro de seis lugares:1-2-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
188--Carro de seis lugares:1-2-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
189--Carro de seis lugares:1-2-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
190--Carro de seis lugares:1-2-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:3-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
191--Carro de seis lugares:2-3-5-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
192--Carro de seis lugares:2-3-5-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
193--Carro de seis lugares:2-3-7-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-6
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
194--Carro de seis lugares:1-2-3-5-9-10;--Carro de quatro lugares:4-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
195--Carro de seis lugares:1-2-3-7-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
196--Carro de seis lugares:1-2-3-8-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
197--Carro de seis lugares:2-3-6-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
198--Carro de seis lugares:2-3-6-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-5-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=3
199--Carro de seis lugares:1-2-3-6-9-10;--Carro de quatro lugares:4-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
200--Carro de seis lugares:2-3-5-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-4-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
201--Carro de seis lugares:2-3-4-6-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
202--Carro de seis lugares:2-3-4-7-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
203--Carro de seis lugares:2-3-4-8-9-10;--Carro de quatro lugares:1-5-6-7
Total de condutores no carro de 4 lugares=2
204--Carro de seis lugares:1-2-3-4-9-10;--Carro de quatro lugares:5-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
205--Carro de seis lugares:2-3-4-5-9-10;--Carro de quatro lugares:1-6-7-8
Total de condutores no carro de 4 lugares=1
TOTAL=205
terça-feira, 3 de outubro de 2017
Ossos do ofício
Copiado do blog CarlosPaulices no século XXI
...eu preciso de mais alunos!
Qualidade do meu trabalho? Podem consultar o blog
Se não têm conhecimentos suficientes para dar opiniões, partilho as de outros profissionais no meu facebook:
Autores de livros...
Ou programas de televisão/youtube
Já tenho uma longa e vasta experiência
Infelizmente, há umas coisas que não faço, nem vou fazer:
PS: Outras pessoas que queiram juntar o seu testemunho são igualmente bem vindas!
Embora compreenda perfeitamente estas proporções...
Qualidade do meu trabalho? Podem consultar o blog
Se não têm conhecimentos suficientes para dar opiniões, partilho as de outros profissionais no meu facebook:
Autores de livros...
Ou programas de televisão/youtube
Já tenho uma longa e vasta experiência
Infelizmente, há umas coisas que não faço, nem vou fazer:
- Substituir o professor da sala de aula.
- Obrigar os explicandos a trabalhar. Se não querem trabalhar, sugiro que não procurem um explicador, mas pensem seriamente na vida, em vez de dizerem mal de professores e explicadores. Se por acaso alguém tentou dar má fama a mim ou ao meu trabalho... volte a ler este ponto (e certifique-se que tinham contas em dia).
- Sobre preços:
A minha formação não foi gratuita, foi-me bem cara! Até custou a minha saúde...
Eu passo recibos! Estou colectado!
Antes que pensem em dar-me calotes com a desculpa "ele recebe da escola" - Já tentaram!
Neste momento não trabalho em escolas (nem estou interessado... mas já dei aulas no ensino superior)
E como eu trabalho principalmente com grupos pequenos, em certas alturas do ano as contas conseguem ficar bem complicadas...
PS: Outras pessoas que queiram juntar o seu testemunho são igualmente bem vindas!
quarta-feira, 6 de setembro de 2017
Sugestões de livros para o 3º ciclo e ensino secundário 2017/2018
Os livros que se seguem são livros que podem ser sugeridos aos alunos que pretendam trabalhar com um apoio extra (em Portugal) mesmo sem recorrer a explicações.
Esta página estará disponível até ao final do presente ano lectivo a partir do menu Livros/sugestões, por baixo do título da página.
Quanto aos livros recomendados, esta lista não é exaustiva e pode aumentar ao longo do ano.
Como habitualmente, aos alunos que frequentam as minhas explicações, não exijo qualquer material extra a não ser o que eu próprio forneço.
Algumas observações relativas a Matemática A, 12º:
Aos alunos que frequentam o 12º, sugiro que adquiram um livro de preparação para exames.
No entanto, neste ano temos uma situação diferente: o programa de 12º mudou!
O exame vai incidir sobre os conteúdos comuns ao actual e anterior programas
Assim sendo:
Como sempre, faço notar que não recebo qualquer tipo de comissão sobre a venda destes livros, nem sequer tenho qualquer desconto na compra deles porque sendo apenas explicador, ou seja, não estando colocado numa escola, as editoras "não me reconhecem" como professor...
Simplesmente passei os olhos com algum cuidado em cada um deles e merecem a minha aprovação.
Se conhece outros livros igualmente bons, ou melhores na sua opinião, envie-me uma sugestão, eu consulto o livro assim que me for possível (por exemplo num hipermercado ou numa Fnac ou numa Bertrand...) e se eu concordar que é um bom livro, terei todo o prazer em juntá-lo aqui à lista.
Atenção:
Mas eu, não sou editor de nenhum destes livros, portanto... quem como eu é contra, não tem grandes alternativas.
Esta página estará disponível até ao final do presente ano lectivo a partir do menu Livros/sugestões, por baixo do título da página.
Quanto aos livros recomendados, esta lista não é exaustiva e pode aumentar ao longo do ano.
Como habitualmente, aos alunos que frequentam as minhas explicações, não exijo qualquer material extra a não ser o que eu próprio forneço.
Algumas observações relativas a Matemática A, 12º:
Aos alunos que frequentam o 12º, sugiro que adquiram um livro de preparação para exames.
No entanto, neste ano temos uma situação diferente: o programa de 12º mudou!
O exame vai incidir sobre os conteúdos comuns ao actual e anterior programas
Assim sendo:
- Aos alunos que tencionam ir a exame como alunos autopropostos ("Alunos externos"), sem frequentar aulas ou explicações, sugiro que utilizem um dos livros de preparação para exames dos anos anteriores, de preferência produzido entre 2014 e 2017, mas que se informem sobre quais são esses conteúdos comuns, para saber para onde devem direccionar o estudo. [quando e se me for possível partilho essa informação aqui]
- Aos repetentes que voltam a se inscrever no 12º, eu sugiro que resolvam os livros de exercícios ('cadernos de actividades') que acompanham os vossos manuais, ou, visto que são vendidos em separado,se preferirem, de outro manual adoptado noutra escola, e um livro específico de preparação para exames de 2018. Atenção que, como várias coisas mudaram desde o ano passado devem esclarecer todas as dúvidas com os vossos professores ou explicadores (e esperemos que não se contradigam)
- Aos alunos que frequentam o 12º pela primeira vez deixo a mesma recomendação que fiz aos alunos repetentes , mas penso que devem ter menos dúvidas que os repetentes.
| Ano | livro | Título | autor(es) | Edição/Ano | Editora |
|---|---|---|---|---|---|
| 7º |  | Matemática Preparar os Testes | Ana Gabriela Moreira Gabriela Rodrigues Armelim com a colaboração de Maria João Vieira Sónia Barbosa | 2ª Edição/2014 (Atenção, não recomendo as versões anteriores a 2013) | Texto Editores |
| 8º |  | Ases da Matemática - 8.º Ano | ??? | Edição mais recente : 05-2016 | Porto Editora |
| 10º |  | Preparação para o Exame Final Nacional - Matemática A - 10.º Ano | ??? | Edição 2015 Atenção ao material disponível em http://www.escolavirtual.pt/ | Porto Editora |
| 10º |  | Matemática Preparar os Testes (METAS CURRICULARES - programa novo) | Roberto Oliveira | 1ª Edição/2015 | Texto Editores |
| 11º |  | Matemática Preparar os Testes (METAS CURRICULARES - programa novo) | Roberto Oliveira | 1ª Edição/2016 | Texto Editores |
| 12º |  | Preparar o Exame 2018 - Matemática A - 12.º Ano OBS: Atenção à ERRATA | Ana Sofia Martins Helena Salomé Liliana dos Prazeres Silva José Carlos da Silva Pereira | Edição de 2017 | Raiz Editora |
| 12º |  | Preparar o Exame 12 - Matemática A - 12.º Ano | Roberto Oliveira | Edição de 2017 | Texto Editores |
Simplesmente passei os olhos com algum cuidado em cada um deles e merecem a minha aprovação.
Se conhece outros livros igualmente bons, ou melhores na sua opinião, envie-me uma sugestão, eu consulto o livro assim que me for possível (por exemplo num hipermercado ou numa Fnac ou numa Bertrand...) e se eu concordar que é um bom livro, terei todo o prazer em juntá-lo aqui à lista.
Atenção:
- Em relação ao 12º, eu sugiro principalmente os livros que façam uma revisão de todos os anos do ensino secundário, pois para a matéria de 12º, os alunos já têm o livro de texto adoptado pela escola
- não atribuo uma classificação aos livros (...) a não ser se merece estar aqui ou não...
- Esta página pode ser editada a qualquer altura do ano lectivo para correcções ou juntar outros livros
Mas eu, não sou editor de nenhum destes livros, portanto... quem como eu é contra, não tem grandes alternativas.
Livros recomendados anteriormente:
segunda-feira, 14 de agosto de 2017
Explicações 2017/2018
Explicações de Matemática (ensinos secundário e superior)
Individuais ou grupos até 4 pessoas
[Funchal]
Matemática A: Aceito pedidos de informações, pré-inscrições e inscrições a partir de 1 de Setembro [email email].
Matemática B, cursos profissionais & MACSs: No presente ano lectivo, não está previsto (por outras, palavras, não aceito), mas se houver pelo menos 3 inscrições para uma turma, a situação será analisada (e caso funcione, em caso de desistências a turma é cancelada se tiver menos de 3 inscritos)
Ensino superior (várias cadeiras de natureza Matemática): mandem-me email para email
a qualquer altura.
Também estou contactável via facebook em https://www.facebook.com/CpMathExplicacoes/
Preços: Tabela para o ano lectivo 2017/2018 - Dar dois cliques NA FOTO! Mas atenção aos pré-requisitos deste ano!
Todos os alunos, incluindo antigos alunos,após combinados horários, deverão preencher uma ficha de inscrição nova.
As fichas de inscrição estão disponíveis abaixo.
Transferir para o computador, preencher e enviar para email indicado na ficha (Abrir o link correspondente e em cima, à esquerda, clicar sobre o ícone transferir).
| Ficha de inscrição Ensino Secundário | Ficha de inscrição Ensino Superior |
|---|---|
|
|
Outros projectos de natureza Matemática (não necessariamente explicações ou ensino): enviar-me email .
Quando for possível deixo mais informações neste blog.
PS:
- Os meus explicandos têm acesso a algum Material exclusivo
- Ao longo do ano lectivo, este blog sofre algumas alterações.
sexta-feira, 28 de julho de 2017
eθ i=cos θ + i sen θ
O novo cis
Uma das novidade do 'novo' programa de Matemática A,a ser introduzido no ano lectivo 2017/2018, é que em vez de escrever
cis θ = cos θ + i sen θ
define-se eθ i = cos θ + i sen θ
No secundário, eu não sou o maior fã desta 'nova' definição, porque (a menos que me tenha escapado algo) no secundário, não é justificado porque é que se usa justamente o e como base desta exponencial.
Portanto, se eu não quiser que os meus explicandos simplesmente levem com a fórmula por 'imposição' (porque afinal de contas, estamos a redefinir/generalizar a exponencial de base e, e há sempre alguém curioso... ) uma hipótese é tentar arranjar uma "dedução" que sugira aos alunos porque se define assim e não de outra forma.
Tentando evitar séries de Maclaurin (só porque quero tentar introduzir o mínimo possível de 'matéria nova' fora do programa aos alunos), pensei em duas (agora três...) deduções possíveis da fórmula, ambas da minha autoria.
Uma já partilhei na net no passado, no blog CarlosPaulices no século XXI, e outra, que recorre ao conceito de "osciladores harmónicos" também introduzido no novo programa de Matemática A, foi partilhada hoje no meu blog Zona Exacta.
Esta segunda tem alguns problemas ... tem muitos malabarismos para que eu possa apresentar a um aluno médio do ensino secundário, e na verdade não se prova que as fórmulas da 'dedução' são as soluções gerais daquelas equações, isto é, que dão todas as soluções possíveis!...
Nesta fase, parece-me apenas ser possível e aceitável, verificar que são soluções.
Com sorte, pode ser que ainda consiga trabalhar esta 'dedução' por forma a se apresentar menos agressiva ao aluno médio deste novo ensino secundário.
Enquanto escrevia este texto, ocorreu-me uma forma mais simples de fazer a 'dedução': pode ver no mesmo blog Zona Exacta, a nova dedução.
Sem, para já, tocar em séries, aceito qualquer sugestão com que o leitor possa contribuir... sem urgências.
Para já, se algum aluno perguntar... apresento a terceira! Se entretanto aparecer outra(s), deixo um link abaixo, na zona "PS".
PS:
define-se
No secundário, eu não sou o maior fã desta 'nova' definição, porque (a menos que me tenha escapado algo) no secundário, não é justificado porque é que se usa justamente o e como base desta exponencial.
Portanto, se eu não quiser que os meus explicandos simplesmente levem com a fórmula por 'imposição' (porque afinal de contas, estamos a redefinir/generalizar a exponencial de base e, e há sempre alguém curioso... ) uma hipótese é tentar arranjar uma "dedução" que sugira aos alunos porque se define assim e não de outra forma.
Tentando evitar séries de Maclaurin (só porque quero tentar introduzir o mínimo possível de 'matéria nova' fora do programa aos alunos), pensei em duas (agora três...) deduções possíveis da fórmula, ambas da minha autoria.
Uma já partilhei na net no passado, no blog CarlosPaulices no século XXI, e outra, que recorre ao conceito de "osciladores harmónicos" também introduzido no novo programa de Matemática A, foi partilhada hoje no meu blog Zona Exacta.
Esta segunda tem alguns problemas ... tem muitos malabarismos para que eu possa apresentar a um aluno médio do ensino secundário, e na verdade não se prova que as fórmulas da 'dedução' são as soluções gerais daquelas equações, isto é, que dão todas as soluções possíveis!...
Nesta fase, parece-me apenas ser possível e aceitável, verificar que são soluções.
Com sorte, pode ser que ainda consiga trabalhar esta 'dedução' por forma a se apresentar menos agressiva ao aluno médio deste novo ensino secundário.
Enquanto escrevia este texto, ocorreu-me uma forma mais simples de fazer a 'dedução': pode ver no mesmo blog Zona Exacta, a nova dedução.
Sem, para já, tocar em séries, aceito qualquer sugestão com que o leitor possa contribuir... sem urgências.
Para já, se algum aluno perguntar... apresento a terceira! Se entretanto aparecer outra(s), deixo um link abaixo, na zona "PS".
PS:
- Já mais do que uma vez deduzi a fórmula dos polinómios e séries de Maclaurin, depois obtive as fórmulas para a exponencial de base e, para o cosseno e para o seno, e deduzi a fómula da exponencial complexa, a alunos noutros contextos. Desta vez procuro mesmo algo diferente.
- CarlosPaulices no século XXI:De uma equação diferencial até à relação de Euler.
- Zona Exacta:Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão I).
- Zona Exacta:Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão II)
Esta é a tal terceira opção que me ocorreu enquanto escrevia este texto. - 04/09/2017 : uma 4ª dedução
segunda-feira, 29 de maio de 2017
Complex0 : Casio fx-9860G & fx-CG20
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PS:
- Para fazer download dos programas, dar três cliques sobre a animação correspondente à sua calculadora, e depois um sobre o ícone que aparecer
- Sugiro a quem fez download antes de 02/06/2017 que actualize para a versão actual. (Na verdade basta actualizar apenas o programa ++ANGULO)
- Instalação de ficheiros .g3m em calculadoras Casio CG*0
terça-feira, 23 de maio de 2017
Aquela religião
Alguém de bom senso acredita mesmo que sem trabalho "em casa", com UMA
explicação por semana, se safa no secundário a Matemática A?
Eu respondo: Todos, mas mesmo todos os anos os anos aparecem-me vários crentes! Tantos que penso ser uma religião.
Curioso é que na tabela de preços que tenho no blog, antes dos preços há sempre um aviso sobre a necessidade do "trabalho extra".
Eu não quero que me paguem mais explicações. Quero que trabalhem!
PS: Em virtude deste texto, juntei ali à barra lateral direita do blog este documento.
Eu respondo: Todos, mas mesmo todos os anos os anos aparecem-me vários crentes! Tantos que penso ser uma religião.
Curioso é que na tabela de preços que tenho no blog, antes dos preços há sempre um aviso sobre a necessidade do "trabalho extra".
Eu não quero que me paguem mais explicações. Quero que trabalhem!
Há dias em que dou comigo a pensar "Para que me ando eu a cansar?"
Não se consegue ajudar quem não quer ajuda.
Não foi à toa que há alguns anos escrevi um texto "Explicações não são para quem precisa, são para quem quer"...
Alguém me censura se num futuro próximo eu começar a recusar/dispensar explicandos?
Contrariamente às aulas, explicações não são obrigatórias!
E ao menos eu ganho alguma paz de espírito...
Não se consegue ajudar quem não quer ajuda.
Não foi à toa que há alguns anos escrevi um texto "Explicações não são para quem precisa, são para quem quer"...
Alguém me censura se num futuro próximo eu começar a recusar/dispensar explicandos?
Contrariamente às aulas, explicações não são obrigatórias!
E ao menos eu ganho alguma paz de espírito...
PS: Em virtude deste texto, juntei ali à barra lateral direita do blog este documento.
sexta-feira, 12 de maio de 2017
segunda-feira, 27 de março de 2017
Sugerir ao aluno que adquira outra calculadora
A calculadora da foto é uma CASIO fx-9750GII.Nos dias de hoje temos calculadoras com ecrãs a cores como as CASIO fx-CG20 ou as TI-nSpire CX... E alguns professores "apaixonaram-se" por essas máquinas.
Pelo menos nos dias de hoje, as CASIO CG20 são mais lentas que as máquinas da foto. E quanto às TI-nSpire CX ... eu tenho uma e prefiro manter-me calado. Já mais do que uma vez me apareceram alunos a quem foi sugerido que mudassem de calculadoras para certas disciplinas, embora na verdade, não houvesse necessidade disso.
O problema resumia-se ao professor preferir utilizar uma calculadora mais recente, com recursos que na verdade... não são necessários para essas disciplinas! E algumas vezes cheguei a passar aos alunos alguns programas da minha autoria que tornaram as calculadoras 'que deviam ser substituídas' melhores e mais eficazes para essas disciplinas...que as calculadoras 'novas', sem programas equivalentes.
Mesmo assim, em praticamente todos os casos, a calculadora era mais do que suficiente para a disciplina em questão...
Por exemplo, para uma disciplina introdutória de Estatística, esta calculadora é mais do que suficiente: calcula logaritmos em qualquer base, calcula os valores das distribuições de probabilidades Binomial, Poisson, Normal,Qui-quadrado, T-Student, Fisher-Snedecor, calcula intervalos de confiança, e até faz testes de hipóteses...
E sem eu introduzir um único programa dos meus!
Já agora, a maioria dos, se não todos os... programas partilhados para máquinas fx-9860G neste blog, também correm nessas calculadoras.
Para o ensino secundário, não está na lista de calculadoras recomendadas para Matemática A, mas de facto... com todas as actualizações, e sem batotas, esta calculadora é suficiente para o secundário actual, e não "vicia" os alunos que, por exemplo, não sabem de cor o valor do seno de 600, (Já agora, se procurarem online, penso que encontram uma forma não oficial de a "converter" numa fx-9860-GII, mas não me peçam links nem instruções).
Não tenhamos ilusões, uma fx9750GII não é uma fx9860 GII,ou uma CG20 mas as diferenças nem sempre justificam uma substituição de máquinas!
Para os cursos e disciplinas dos alunos destinatários, será que se justifica mesmo 'obrigar' os alunos a investimentos desnecessários?
O mesmo já vi acontecer com máquinas TI83plus e TI84 ... com argumentos que para proteger a privacidade dos alunos, prefiro não repetir.
Sugerir ao aluno que mude de calculadora porque na verdade é o professor que desconhece as funcionalidades ou não sabe utilizar, nos dias de hoje...é anedoticamente ridículo! Nem que seja consultando o manual ou a internet... a informação está disponível. E sendo professor... até poderia contactar um colega, ou mesmo a marca. No caso das Casio, até poderia dizer que há quase 20 anos que "a forma de funcionar" é a mesma... portanto, ou é má vontade, ou o professor recebe comissão nas vendas, ou é mesmo estupidez da sua parte.
No caso das Texas Instruments (TI83&84 .. a 84 deve ser vista como uma evolução da TI83)... essas máquinas já andam por aí há tanto tempo... (aprox 20 anos?), que o comentário acima feito para as CASIO é igualmente válido. E acrescento que a única coisa que não gosto nelas é a velocidade!
No entanto, sim, há máquinas que não têm funcionalidades que hoje em dia são "obrigatórias"... mas cuidado ao identificar "falsos positivos", porque hoje em dia, as calculadoras têm sistemas operativos actualizáveis pela Internet.
terça-feira, 21 de março de 2017
domingo, 19 de março de 2017
Problemas de unicidade
Equações vectoriais da recta já estão no ensino secundário há muitos, mas mesmo muitos anos. Todos os anos vejo enunciados de exercícios e problemas com gralhas de português. E já dou um exemplo:
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:
Qualquer equação da forma \[(x,y)=(a,b)+k(v_1,v_2),k\in \R \] consegue ser reescrita na forma de equações paramétricas: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+kv_1} \\ {y = b+kv_2} \end{array};k \in \R} \right. \] E só por isso já temos uma infinidade de equações paramétricas.
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!
Exercício
Considere no referencial o.n $xOy$ os pontos $A(1,-2)$ e $B(-2,1)$.
a) Indique a equação vectorial da recta $AB$.
b) Indique as equações paramétricas da recta $AB$.
E depois de eu ter escrito a negrito a na alínea a) e as na alínea b), o leitor com alguns conhecimentos de Matemática já terá percebido o problema! Nenhuma das questões tem resposta única!Considere no referencial o.n $xOy$ os pontos $A(1,-2)$ e $B(-2,1)$.
a) Indique a equação vectorial da recta $AB$.
b) Indique as equações paramétricas da recta $AB$.
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:
\begin{eqnarray*}
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-3,3); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(3,-3); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-1,1); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\
{(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\
{}&{\vdots}&{}
\end{eqnarray*}
Isto porque na verdade, qualquer vector de declive $-1$ pode ser usado!
Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos $A$ e $B$!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula \[A+\lambda \vect{AB}; \lambda \in \R\] também pode ser utilizado!
Assim sendo, são válidas também as respostas:
\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(-2,1)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(-1,0)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(0,-1)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(2,-3)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*}
E a alínea b) sofre do mesmo mal, versão pior: É impossível listar todas...Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos $A$ e $B$!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula \[A+\lambda \vect{AB}; \lambda \in \R\] também pode ser utilizado!
Assim sendo, são válidas também as respostas:
\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(-2,1)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(-1,0)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(0,-1)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(2,-3)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*}
Qualquer equação da forma \[(x,y)=(a,b)+k(v_1,v_2),k\in \R \] consegue ser reescrita na forma de equações paramétricas: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+kv_1} \\ {y = b+kv_2} \end{array};k \in \R} \right. \] E só por isso já temos uma infinidade de equações paramétricas.
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{x = a+(\tan \theta \times v_1)} \\
{y = b+(\tan \theta \times v_2)}
\end{array};\theta \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[} \right.
\]
E aqui ainda temos a liberdade de deslocar o intervalo por um múltiplo inteiro de $\pi$!
Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...
E quem diz estas, diz muitas mais...Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!
PS: o autor está-se nas tintas para o acordo ortográfico de 1990! Prendam-no por não o utilizar!
sábado, 18 de março de 2017
Após o 9º ano: Matemática A ?
Matemática A não é difícil mas requer bases e trabalho.
Assim sendo, parece-me boa ideia os alunos que não chegam aos 50% na prova final de 9º ano pensarem bem antes de escolher o que vão fazer no ensino secundário.
A teoria do "dá para passar" que se instala em algumas mentes é inimiga do sucesso...
Assim sendo, parece-me boa ideia os alunos que não chegam aos 50% na prova final de 9º ano pensarem bem antes de escolher o que vão fazer no ensino secundário.
A teoria do "dá para passar" que se instala em algumas mentes é inimiga do sucesso...
sexta-feira, 17 de março de 2017
sábado, 11 de março de 2017
sexta-feira, 3 de março de 2017
quarta-feira, 1 de março de 2017
segunda-feira, 20 de fevereiro de 2017
And he keeps going...
terça-feira, 31 de janeiro de 2017
terça-feira, 3 de janeiro de 2017
Feliz 2017
No meu caso, recomeço num estado gripal.
Isso de resoluções de ano novo... são tretas que as pessoas inventaram e usam como desculpa para tentar recomeçar.
Na verdade a experiência tem me mostrado que as pessoas só mudam quando são obrigadas a isso ou quando há alterações significativas nas suas vidas ("1ª lei de Newton" :) ).
No meu caso, o que há 'de novo' são impostos mais altos para pagar.
É um daqueles maus hábitos dos nossos governos, ano após ano, seja lá de que partido for.
Se 2017 trouxer novas atitudes e com isso melhores resultados... força.
Caso contrário... não se enganem a si próprios!
Recordo aquela velha frase:
"O único sítio onde sucesso vem antes de trabalho é no dicionário."
Ok, não é bem verdade...por exemplo na própria frase, sucesso também vem antes de trabalho...
Mas o que conta é a intenção: trabalhem para atingir os vossos objectivos, e com eles o sucesso e tenham um excelente 2017!
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